Binomische Formeln: 1. und 2. binomische Formel anwenden
1. und 2. Binomische Formel
Die Binomischen Formeln sind ein wichtiges Werkzeug, um Terme zu bearbeiten. Mit ihnen kannst du viele Terme leichter ausmultiplizieren (Klammern auflösen) oder faktorisieren (sinnvoll zusammenfassen).
Schau dir an, wie du mit binomischen Formeln rechnest:
Das Wichtigste in Kurzform
Die 2 Formeln solltest du im Kopf haben:
Die 1. Binomische Formel (Plus-Formel):
$$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$
Die 2. Binomische Formel (Minus-Formel):
$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$
So rechnest du mit binomischen Formeln:
1. Schritt: Entscheide, mit welcher binomischen Formel du rechnest.
2. Schritt: Bestimme a und b.
3. Schritt: Setze in die Formel ein.
4. Schritt: Vereinfache den Term.
Für $$a$$ und $$b$$ kannst du alle möglichen Zahlen einsetzen. Du kannst auch andere Buchstaben nehmen, zum Beispiel $$x$$ und $$y$$.
Für $$a$$ und $$b$$ kannst du auch Brüche einsetzen.
Beispiel 1 - 1. Binomische Formel
$$(a + 3)^2 = a^2 + 2*a*3 + 3^2$$
$$=a^2 + 6ab + 9$$
Beispiel 2 - 2. Binomische Formel
$$(0,4 - y)^2 = 0,4^2 - 2*0,4*y + y^2$$
$$=0,16^2 -0,8y + y^2$$
Beispiel 3 - 2. Binomische Formel
$$(z - 2/3)^2 = z^2 - 2*z*2/3 + (2/3)^2$$
$$=z^2 -4/3z + 4/9$$
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Schwierigere Beispiele
$$(5a + b)^2 = (5a)^2 + 2*5a*b + b^2$$
$$=5a*5a + 2*5*ab + b*b$$
$$=25a^2 + 10ab + b^2$$
$$(a-3b)^2 = a^2-2*a*3b+(3b)^2$$
$$=a*a-2*3*ab+3b*3b$$
$$=a^2-6ab+9b^2$$
Noch ein Minuszeichen:
$$(-2x-5)^2 = (-2x)^2-2*(-2x)*5+5^2$$
$$=(-2x)*(-2x)-2*(-2)*5*x+5^2$$
$$=4*x^2-(-4)*5*x+25$$
$$=4*x^2-(-4)*5*x+25$$
$$=4*x^2+20*x+25$$
$$(-2x-1/2y)^2 = (-2x)^2-2*(-2x)*(1/2y)+(1/2y)^2$$
$$=(-2x)*(-2x)-2*(-2)$$
$$*(1/2)*x*y+1/2y*1/2y$$
$$=4x^2+2xy+1/4y^2$$
Mit etwas Übung kannst auch auf die Zwischenschritte verzichten und schreibst gleich hin:
$$(4a+b)^2=16a^2+8ab+b^2$$
Bei zusammengesetzten Ausdrücken wie $$(5a)^2$$ multiplizierst du beide Faktoren mit sich selbst:
$$(5a)^2=5a*5a=5*5*a*a=25a^2$$
Beispiele mit 2 Produkten
$$(5a + 3b)^2 = (5a)^2 + 2*5a*3b + (3b)^2$$
$$=5a*5a + 2*5*3*ab + 3b*3b$$
$$=25a^2 + 30ab + 9b^2$$
$$(4a-3b)^2 = (4a)^2-2*4a*2b+(3b)^2$$
$$=4a*4a-2*4*2*ab+3b*3b$$
$$=16a^2-16ab+9b^2$$
Mit etwas Übung kannst du auch auf den Zwischenschritt verzichten $$(4p+6x)^2 =16p^2+48px+36x^2$$
Warum geht das?
Du kannst dir die binomischen Formeln selbst herleiten. Multipliziere einfach aus.
$$(a + b)^2$$ $$=$$$$(a + b)*(a + b)$$ = $$a*a + a*b + b*a + b*b$$
$$=a^2$$$$+ ab + ba + b^2$$
$$=a^2$$$$+ 2ab + b^2$$
$$(a - b)^2$$ $$=$$ $$(a - b)*(a - b)$$ = $$a*a - a*b - b*a + b*b$$
$$=a^2$$$$ - ab - ba + b^2$$
$$=a^2$$$$- 2ab + b^2$$
Ausmultiplizieren = Klammern auflösen
Es gilt das Kommutativgesetz:
$$a*b=b*a$$ oder kurz $$ab = ba$$
Beachte das Vorzeichen:
$$a*(-b) = -ab$$
$$(-b)*(-b)=b^2$$
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Anwendungen von Binomischen Formeln
Die binomischen Formeln können dir dabei helfen, von großen Zahlen die Quadrate zu bilden.
Beispiel 1:
$$17^2=(10+7)^2$$
$$=10^2+2*10*7+7^2$$
$$=100+2*7*10+49$$
$$=100+140+49$$
$$=289$$
Bei manchen Zahlen bildest du besser eine Differenz und rechnest mit der 2. binomischen Formel.
Beispiel 2:
$$195^2=(200-5)^2$$
$$=200^2-2*200*5+5^2$$
$$=40000-2*5*200+25$$
$$=40000-2000+25$$
$$=38025$$
Darstellungsformen der binomischen Formel
Da es sich in der ausmultiplizierten Form der binomischen Formeln um Summen handelt, kannst du die einzelnen Summanden auch vertauschen.
$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$
$$=a^2+b^2+2ab$$
$$=2ab+a^2+b^2$$
$$=b^2+2ab+a^2$$
Bei der zweiten binomischen Formel ist es nicht ganz so einfach. Nimm immer das Minus mit!
$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$
$$=a^2+b^2-2ab$$
$$=-2ab+a^2+b^2$$
$$=b^2-2ab+a^2$$
Das Minus in der 2. binomischen Formel kannst du dir auch als negatives Vorzeichen für den Summanden $$2ab$$ vorstellen.
Terme mit dem Formel-Editor
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