Exponentialfunktionen der Form `y=a*b^x`

Erinnerst du dich, dass du Parabeln strecken und stauchen kannst?

Das geht auch mit Exponentialfunktionen. In der Funktionsgleichung wird ein Parameter `a` hinzugefügt:
`y=a*b^x`.

Die Eigenschaften der Funktion verändern sich dann.

Betrachte zunächst wieder ein Beispiel: `y=3*2^x` und im Vergleich dazu nochmals die Funktion `y=2^x`.

Die Exponentialfunktionen `y=2^x` und `y=3*2^x`

Sieh dir die Wertetabelle an:

Wie du siehst, verdoppeln sich bei beiden Funktionen die y-Werte in jedem Schritt. Der Faktor `3` bewirkt, dass jeder y-Wert von `3*2^x` das Dreifache von `2^x` ist.

Für das Berechnen der y-Werte sind die Potenzgesetze hilfreich:

Für Potenzen `a^b` mit `a \in \mathbb{R}` und `b \in \mathbb{Z}` gilt:
`a^-b=1/{a^b}` und `a^0=1`.

Die Graphen von `y=2^x` und `y=3*2^x`

Betrachte nun die Graphen beider Funktionen.

Wie du erkennen kannst, bewirkt der Faktor 3 eine Streckung des Graphen in y-Richtung um den Faktor 3.

Definition: Exponentialfunktionen der Form `y=a*b^x`

Eine Funktion mit der Gleichung `y=a*b^x` mit `a ne 0`, `b>0` und `b ne 1` heißt Exponentialfunktion zur Basis `b` mit dem Streckfaktor `a`.

Das `b` heißt Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor.

Das `a` kann als Startwert bei exponentiellen Wachstums- bzw. Zerfallsvorgängen aufgefasst werden. Dazu später mehr.

Graphen von `y=a*2^x`

Hier siehst du verschiedene Funktionen der Form `y=a*2^x` mit verschiedenen Werten für `a`.

Siehst du die Zusammenhänge zwischen den Graphen?

• Der Graph fällt für `b` zwischen `0` und `1` (exponentieller Zerfall).
  Der Graph steigt für `b` größer `1` (exponentielles Wachstum).

• Der Faktor `a` bewirkt eine Streckung in y-Richtung, falls `a>1` (z.B. `3`; `5,5`; `20`). Das ist auch so, wenn `a<-1` ist (z.B. `-3`; `-5,5`; `-20`).

• Der Faktor `a` bewirkt eine Stauchung in y-Richtung, falls er zwischen `0` und `1` liegt. (z.B. `0,5`)

• Das ist auch so, wenn `a` zwischen `-1` und `0` liegt. (z.B. `-0,5`)

• Die Graphen der Funktionen `y=a*b^x` und `y=-a*b^x` sind Spiegelbilder. Die Spiegelachse ist die x-Achse.

• Die Graphen liegen alle oberhalb der x-Achse, solange `a>0` ist.

• Für `a=1` hat die Funktion die Form `y=b^x`.

• Die Graphen schmiegen sich der x-Achse an.

• Alle Graphen verlaufen jetzt durch den Punkt `P(0|a)`, nicht mehr durch `Q(0|1)`.

Bestimmen von Funktionsgleichungen der Form `y=a*b^x` aus zwei Punkten

Sicherlich erinnerst du dich daran, dass man bei Funktionsgleichungen der Form `y=b^x` nur einen Punkt brauchte, um sie eindeutig zu bestimmen.
Da du es hier mit einem Parameter mehr zu tun hast, brauchst du zwei Punkte.

Aufgabe: Gib die Gleichung einer Exponentialfunktion an, deren Graph durch `P(-2|0,16)` und `Q(-1|0,8)` verläuft.

Ansatz:

`y=a*b^x`   | Punkte einsetzen

`(I)` `0,16=a*b^-2`
`(II)` `0,8=a*b^-1`   |`:b^{-1}`

`(I)` `0,16=a*b^-2`
`(II)` `a=0,8/b^-1`    |einsetzen in `(I)`

`rarr` `a` in `(I)`:
`(I)` `0,16=0,8/b^-1*b^-2`

`⇔ 0,16=0,8/b^2*b^1`

`⇔ 0,16=0,8/b`

`⇔ b=5`

`rarr` `b` in `(I)`:
`(I)` `0,16=a*5^-2`   |`:5^-2`

`⇔0,16/5^-2=a`

`⇔ a= 4`

`⇒ y=4*5^x`

Bestimmen von Funktionsgleichungen der Form `y=a*b^x` aus Texten

Bei vielen Aufgaben erstellst du erst mal aus dem Text eine Funktionsgleichung. Mit der kannst du dann weiterrechnen.

`a)` Veränderung pro 1 Zeiteinheit:

Beispiel:
Ein Anfangsbestand von 75 vervierfacht sich jede Stunde (`x` →1 Stunde).
Dann ist `a=75` (der Anfangsbestand) und `b=4` (Wachstumsfaktor, Vervierfachung pro Stunde).

Also: `y=75*4^x`.

`b)` Veränderung bei beliebiger Zeiteinheit

Beispiel:
Ein Anfangsbestand von 75 vervierfacht sich alle 3 Stunden (x → 1 Stunde). `a` ist immer noch 75. Der Wachstumsfaktor muss sich nun aber verändern, weil eine Vervierfachung nun erst nach 3 Stunden erfolgt. So sieht das in der Wertetabelle aus:

Die Pfeildarstellung entspricht der Gleichung

`b*b*b=b^3=4`   |3. Wurzel ziehen
`⇔ b=root(3)4`

`⇒ y=75*` `(root(3) 4)^x`.

Tipp: Beachte die Sätze mit um und auf.

Beispiel:
Ein Anfangsbestand von 18 nimmt pro Stunde um 10 % ab. Das heißt, dass nach 1 Stunde noch 90 % da sind. Prozentangaben wandelst du in Dezimalzahlen um.
Also: `y = 18 *0,9^x` .