Gleichungen lösen: Einfache quadratische Gleichungen
Was ist eine quadratische Gleichung?
In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable in der zweiten Potenz und nicht höher vor.
Beispiele
- $$x^2 = 3$$
- $$ 2x^2 + 1,5x = 0$$
- $$ x^2 + 2x - 3 = 0$$
- $$ 0,5x^2 - 3x = 1,5$$
Quadratische Gleichungen können außer dem quadratischen Glied ($$x^2$$) ein lineares ($$x$$) und ein absolutes Glied (eine Zahl) enthalten.
Beispiel
$$0,5·x^2$$ (quadr. Glied) $$ - 3·x$$(lin. Glied) = $$1,5$$ (abs. Glied)
Meistens sollst du quadratische Gleichungen lösen. Du suchst Zahlen für die Variable, die die Gleichung erfüllen. Diese Zahlen heißen Lösungen. Alle Lösungen bilden die Lösungsmenge $$L$$.
In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable x in der 2. Potenz vor, aber in keiner höheren Potenz.
- Es geht um Gleichungen mit einer Variablen (meist x).
- hoch 2 heißt „quadratisch“.
- „Erfüllen“ heißt: Du setzt eine Zahl für die Variable in die Gleichung ein und es entsteht eine wahre Aussage wie 2=2.
- Die Lösungen quadratischer Gleichungen sind oft unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche (irrationale Zahlen).
Einfache quadratische Gleichungen
Die einfachsten quadratischen Gleichungen haben die Form
$$x^2=r, r in RR$$.
Das $$r$$ ist eine beliebige reelle Zahl.
Beispiel:
$$x^2 = 9$$ mit $$ r=9$$
Andere quadratische Gleichungen kannst du durch äquivalente Umformungen in diese Form bringen.
Beispiel:
$$3x^2 - 4 = 8 |+4$$
$$3x^2=12 |:3$$
$$x^2=4$$
Die einfachsten quadratischen Gleichungen enthalten Glieder mit $$x^2$$ und reelle Zahlen. Sie können umgeformt werden in die Form $$x^2=r$$ $$ (rinRR)$$.
Bei äquivalenter Umformung ändert sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht!
Einfache quadratische Gleichungen lösen
1. Beispiel:
Löse die Gleichung $$x^2=9$$.
Lösung:
$$x_1=3$$ und $$x_2=-3$$ , denn $$3^2=9$$ und $$(-3)^2=9$$.
Lösungsmenge: $$L={-3;3}$$
2. Beispiel:
Löse die Gleichung $$x^2=1,69.$$
Lösung:
$$x_1=1,3$$ und $$ x_2=-1,3$$,
denn $$1,3^2=1,69$$ und $$(-1,3)^2=1,69.$$
Lösungsmenge: $$L={1,3;-1,3}$$
3. Beispiel:
Löse die Gleichung $$x^2=-4.$$
Keine Lösung, denn $$x^2>0$$ für alle reellen Zahlen x.
Lösungsmenge: $$L={ } $$ (leere Menge)
Wenn die quadratische Gleichung umgeformt ist in die Form $$x^2=r$$ und $$r$$ ist nicht-negativ, können die Lösungen der Gleichung durch die Wurzel aus $$r $$ bestimmt werden.
$$x^2=9$$
$$x_1=+ sqrt9 = 3$$
$$x_2= - sqrt9 =- 3$$
Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv.
Noch nicht kapiert?
kapiert.dekann mehr:
- interaktive Übungen
und Tests - individueller Klassenarbeitstrainer
- Lernmanager
Erst umformen
Kompliziertere Gleichungen kannst du auch lösen, wenn du sie in die Form $$x^2=r (r inRR)$$ umformen kannst.
Beispiel:
$$2x*(4-x)=8(x-1)$$
Umformen:
Multipliziere die Klammern auf beiden Seiten aus.
$$2x*4-2x*x=8x-8$$
$$8x-2x^2=8x-8$$ |$$-8x$$
$$-2x^2=-8$$ |$$:(-2)$$
$$x^2=4$$ (reinquadratische Gleichung)
Lösung:
$$x_1=2$$ und $$x_2=-2$$
$$L={2;-2}$$
Probe:
$$x_1$$$$:$$ $$ 2*2*(4-2)=8*(2-1)$$
$$4*2=8*1$$
$$8=8$$
Versuche immer, eine gegebene Gleichung durch äquivalente Umformung zu vereinfachen.
Ausmultiplizieren: Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Term vor der Klammer multipliziert.
Probe: Setze die berechnete Lösung in die Variable ein.
Lösungen der Gleichung $$x^2=r$$
Wie sieht die allgemeine Lösung aus?
Gegeben ist eine beliebige Gleichung der Form $$x^2=r$$.
Lösungen: $$x_1=+sqrt(r) $$ und $$x_2=-sqrt(r)$$
Die Lösbarkeit dieser Gleichungen hängt nur von der Zahl $$r$$ ab.
Diese 3 Fälle gibt es:
| Gleichung | Anzahl Lösungen | Lösung |
|---|---|---|
| $$r > 0$$$$:$$ $$x^2=r$$ | 2 Lösungen | $$x_1 =sqrt(r)$$ $$x_2=-sqrt(r)$$ |
| $$r = 0$$$$:$$ $$x^2=0$$ | 1 Lösung | $$x = 0$$ |
| $$r < 0$$$$:$$ $$x^2=r $$ | keine Lösung | $$———$$ |
$$(sqrt(r))^2=r$$ und $$(-sqrt(r))^2=r$$
kapiert.de passt zu deinem Schulbuch!
Buchreihen Mathematik mein Schulbuch suchen
