Gleichungen lösen: Einfache quadratische Gleichungen
Was ist eine quadratische Gleichung?
In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable in der zweiten Potenz und nicht höher vor.
Beispiele
- x2=3
- 2x2+1,5x=0
- x2+2x-3=0
- 0,5x2-3x=1,5
Quadratische Gleichungen können außer dem quadratischen Glied (x2) ein lineares (x) und ein absolutes Glied (eine Zahl) enthalten.
Beispiel
0,5·x2 (quadr. Glied) -3·x(lin. Glied) = 1,5 (abs. Glied)
Meistens sollst du quadratische Gleichungen lösen. Du suchst Zahlen für die Variable, die die Gleichung erfüllen. Diese Zahlen heißen Lösungen. Alle Lösungen bilden die Lösungsmenge L.
In einer quadratischen Gleichung kommt die Variable x in der 2. Potenz vor, aber in keiner höheren Potenz.
- Es geht um Gleichungen mit einer Variablen (meist x).
- hoch 2 heißt „quadratisch“.
- „Erfüllen“ heißt: Du setzt eine Zahl für die Variable in die Gleichung ein und es entsteht eine wahre Aussage wie 2=2.
- Die Lösungen quadratischer Gleichungen sind oft unendliche, nicht periodische Dezimalbrüche (irrationale Zahlen).
Einfache quadratische Gleichungen
Die einfachsten quadratischen Gleichungen haben die Form
x2=r, r∈ℝ.
Das r ist eine beliebige reelle Zahl.
Beispiel:
x2=9 mit r=9
Andere quadratische Gleichungen kannst du durch äquivalente Umformungen in diese Form bringen.
Beispiel:
3x2-4=8 ∣+4
3x2=12 |3
x2=4
Die einfachsten quadratischen Gleichungen enthalten Glieder mit x2 und reelle Zahlen. Sie können umgeformt werden in die Form x2=r (r∈ℝ).
Bei äquivalenter Umformung ändert sich die Lösungsmenge der Gleichung nicht!
Einfache quadratische Gleichungen lösen
1. Beispiel:
Löse die Gleichung x2=9.
Lösung:
x1=3 und x2=-3 , denn 32=9 und (-3)2=9.
Lösungsmenge: L={-3;3}
2. Beispiel:
Löse die Gleichung x2=1,69.
Lösung:
x1=1,3 und x2=-1,3,
denn 1,32=1,69 und (-1,3)2=1,69.
Lösungsmenge: L={1,3;-1,3}
3. Beispiel:
Löse die Gleichung x2=-4.
Keine Lösung, denn x2>0 für alle reellen Zahlen x.
Lösungsmenge: L={ } (leere Menge)
Wenn die quadratische Gleichung umgeformt ist in die Form x2=r und r ist nicht-negativ, können die Lösungen der Gleichung durch die Wurzel aus r bestimmt werden.
x2=9
x1=+√9=3
x2=-√9=-3
Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer positiv.
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Erst umformen
Kompliziertere Gleichungen kannst du auch lösen, wenn du sie in die Form x2=r (r∈ℝ) umformen kannst.
Beispiel:
2x⋅(4-x)=8(x-1)
Umformen:
Multipliziere die Klammern auf beiden Seiten aus.
2x⋅4-2x⋅x=8x-8
8x-2x2=8x-8 |-8x
-2x2=-8 |:(-2)
x2=4 (reinquadratische Gleichung)
Lösung:
x1=2 und x2=-2
L={2;-2}
Probe:
x1: 2⋅2⋅(4-2)=8⋅(2-1)
4⋅2=8⋅1
8=8
Versuche immer, eine gegebene Gleichung durch äquivalente Umformung zu vereinfachen.
Ausmultiplizieren: Jeder Summand in der Klammer wird mit dem Term vor der Klammer multipliziert.
Probe: Setze die berechnete Lösung in die Variable ein.
Lösungen der Gleichung x2=r
Wie sieht die allgemeine Lösung aus?
Gegeben ist eine beliebige Gleichung der Form x2=r.
Lösungen: x1=+√r und x2=-√r
Die Lösbarkeit dieser Gleichungen hängt nur von der Zahl r ab.
Diese 3 Fälle gibt es:
| Gleichung | Anzahl Lösungen | Lösung |
|---|---|---|
| r>0: x2=r | 2 Lösungen | x1=√r x2=-√r |
| r=0: x2=0 | 1 Lösung | x=0 |
| r<0: x2=r | keine Lösung | ——— |
(√r)2=r und (-√r)2=r
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