Was ist ein Kegel?

Wie kannst du die Größe der Verpackung bestimmen?

Bild: Langner & Partner Werbeagentur GmbH

In der Mathematik ist die Verpackung ein Kegel. Er hat

• einen Kreis als Grundfläche,
• einen gewölbten Mantel
• und eine Spitze.

Die Körperhöhe h ist der Abstand der Spitze von der Grundfläche. Die Verbindungsstrecke vom Kreisrand zur Spitze heißt Mantellinie s.

Was ist die Oberfläche eines Kegels?

Wenn du den Kegel zu einem Netz aufklappst, kannst du die Flächen gut erkennen.

Die Oberfläche setzt sich aus der Grundfläche und der Mantelfläche zusammen.

So berechnest du die Mantelfläche

Die Grundfläche Kreis kannst du ja schon berechnen. Neu ist die Mantelfläche.

Zerlege den Mantel in Teile.

Lege die Teile in eine Reihe. Erinnert dich das an was?

Je feiner du die Teile wählst, desto mehr sieht die Figur
wie ein Rechteck aus.

Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit $$a*b$$.

Also hier $$u/2*s$$.

$$u/2*s = (2*pi*r)/2*s=pi *r*s$$

• r Radius
• d Durchmesser
• π Kreiszahl

Die Formel für die Kegel-Oberfläche

Wie kommst du an die Mantellinie s?

Aus dem Radius r und der Kegelhöhe h kannst du mit dem Satz des Pythagoras die Mantellinie berechnen.

Benutze das rechtwinklige Dreieck mit den Seiten h, r und s .

Es gilt   $$s^2= r^2+h^2$$

Also   $$s = sqrt(r^2 + h^2$$

Dann ergibt sich für die Mantelfläche:

$$M=pi *r*s$$

und damit: $$M=pi *r*sqrt(r^2 + h^2$$

So berechnest du die Oberfläche eines Kegels

Formel 1:

Gegeben ist ein Kegel mit $$r = 8 cm$$ und $$s = 12 cm$$.

Um die Oberfläche des Kegels zu berechnen, gehe so vor:

$$O = π * r^2 + π * r * s $$

$$O = π * (8 cm)^2 + π * 8 cm * 12 cm $$

$$O = 502,65 cm^2 $$

Formel 2:

Gegeben ist ein Kegel mit $$r = 6 cm$$ und $$h = 15 cm$$.

Benutze die andere Formel, da h anstelle von s gegeben ist:

$$O=pi*r^2+pi *r*sqrt(r^2 + h^2$$

$$O=pi*(6 cm)^2+pi *6 cm*sqrt((6 cm)^2 + (15 cm)^2$$

$$O = 417,62 cm^2 $$