Brüche multiplizieren
Brüche miteinander multiplizieren
Du weißt schon, wie du einen Bruch mit einer natürlichen Zahl multiplizierst. Du vervielfältigst den Bruch:
Und wie multiplizierst du zwei Brüche??
Zum Beispiel $$3/4*2/3$$ oder $$2/6*4/5$$?
In diesen Fällen suchst du den Bruchteil eines Bruches. Oder genauer: den Bruchteil eines Bruchteils.
Klingt kompliziert? Da helfen Bilder! Los geht’s:
Zur Erinnerung: Einen Bruch multiplizierst du mit einer ganzen Zahl, indem du den Zähler des Bruches mit der Zahl multiplizierst und den Nenner beibehältst.
Bilder sagen mehr als Worte
Die Aufgabe: $$2/3*3/8$$
Das bedeutet:
Du suchst den Bruchteil $$2/3$$ von $$3/8$$.
Stelle dir die $$3/8$$ vor. Diesen Bruchteil teilst du nun in 3 Teile, denn du suchst ja $$2/3$$ davon. Bezogen auf ein Ganzes erhältst du dann $$1/4$$.
Mit Bild siehst du das viel besser:
(Nimm dir ruhig Zeit, das Bild zu verstehen! Das schnallt keiner auf den ersten Blick.:-))
Noch ein Bild
Du kannst dir das Bild zu den Aufgaben auch anders vorstellen:
$$2/6*4/5$$
Wieder suchst du den Bruchteil $$2/6$$ von $$4/5$$.
Teile das Ganze und markiere den einen Bruch. Hier sind das 4 von 5 Zeilen.
Jetzt teilst du das Ganze in die andere Richtung und markierst den anderen Bruch. Hier sind das 2 von 6 Spalten.
Der gesuchte Bruchteil ist der doppelt farbige Bereich. Das sind hier 8 von 30 Feldern.
Das Ergebnis heißt also $$2/6*4/5=8/30$$.
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Findest du die Regel?
Und jetzt sollst du bei jeder Aufgabe diese Bilder malen?!?!?
Nein, aber du kannst damit die Rechenregel finden!
$$2/6*4/5=8/30$$
Wie kommst du rechnerisch auf die 8 im Zähler und die 30 im Nenner?
Genau: $$2*4=8$$ und
$$5*6=30$$
Kurz formuliert lautet die Regel zur Multiplikation von Brüchen: ZÄHLER mal ZÄHLER und NENNER mal NENNER.
Stell dir vor, viele Schüler sind der Meinung, es sei viel einfacher, Brüche zu multiplizieren als zu addieren. „Mal-Rechnen“ einfacher als „Plus-Rechnen“!!?? Ja, denn die eine Regel lässt sich gut merken!
Testen der Regel
Prüfe mit dem ersten Beispiel, ob die Regel passt.
Laut Bild: $$2/3*3/8=1/4$$.
Wende die Regel (Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner) an:
$$2/3*3/8=(2*3)/(3*8)=6/24$$
Ups, das ist gar nicht das Gleiche??
Kürzen nicht vergessen ☺: $$6/24$$ gekürzt mit 6 ist $$1/4$$.
Du multiplizierst zwei Brüche, indem du jeweils die Zähler und Nenner multiplizierst.
Oder kurz: ZÄHLER mal ZÄHLER und NENNER mal NENNER.
Beispiele
$$1/3*2/5=(1*2)/(3*5)=2/15$$
$$20/3*4/13=(20*4)/(3*13)=80/39$$
Mit gemischten Zahlen:
Wandle gemischte Zahlen erst in Brüche um:
$$4 2/3*3 1/5=14/3*16/5=(14*16)/(3*5)=224/15=14 14/15$$
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Geschicktes Kürzen vereinfacht das Rechnen
$$4/2*6/3=(4*6)/(2*3)=24/6=4$$
Das rechnet sich gut. Aber die Aufgabe kann leichter werden, wenn du vor der Multiplikation kürzt.
$$4/2*6/3=(4*6)/(2*3)=(2*2)/(1*1)=4/1=4$$
Manchmal kannst du schon vor dem Malnehmen kürzen:
$$4/2*6/3=2/1*2/1=2*2=4$$
Geschicktes Kürzen kann das Leben sehr vereinfachen, hm?
Es kann sich lohnen, auch mehrfach zu kürzen.
Mehrere Brüche multiplizieren
Klar, du kannst auch mehr als 2 Brüche multiplizieren. Guck vorm Rechnen, ob du kürzen kannst.
Beispiel 1:
$$2/3*4/5*5/2=(2*4*5)/(3*5*2)=4/3$$
Beispiel 2:
Hier kannst du gleich mehrfach kürzen. Du kannst Zähler und Nenner verschiedener Brüche durch dieselbe Zahl kürzen. Es sind ja alle Zähler und alle Nenner durch ein Malzeichen verbunden.
$$21/3*5/14*6/10=(21*5*6)/(3*14*10)=(7*1*6)/(1*14*2)=42/28=3/2$$
Beispiel 3:
Zuletzt noch ein Beispiel für „Kürz-Künstler“:
$$15/12*4/10*9/20*16/6=(15*4*9*16)/(12*10*20*6)=(5*2*3*4)/(4*5*5*2)=3/5$$
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