Wiederholung der Division und Multiplikation von Brüchen

Erinnerst du dich an die Regeln der Punktrechnung von Brüchen?

Multiplikation

Du multiplizierst zwei Brüche, indem du jeweils die Zähler und Nenner multiplizierst. Ein Beispiel:

$$5/4*3/7=(5*3)/(4*7)=15/28$$

Tipp: Es kann sich lohnen vor der Multiplikation zu kürzen, um mit kleineren Zahlen zu rechnen. Auch dazu ein Beispiel:

$$36/25*15/24=(36*15)/(25*24)=(3*3)/(5*2)=9/10$$

Division

Du dividierst zwei Brüche, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizierst. Ein Beispiel:

$$5/3:7/2=5/3*$$$$2/7$$ $$=(5*2)/(3*7)=10/14$$

Auch hier lohnt es sich zu kürzen, wie im Beispiel:

$$64/33:16/55=64/33*55/16=(64*55)/(33*16)=(4*5)/(3*1)=20/3$$

Wichtig: Bilde immer zuerst den Kehrbruch und kürze danach!

Kommutativgesetz bei der Bruch-Multiplikation

Genau wie bei der Addition, spielt auch bei der Multiplikation von Brüchen die Reihenfolge keine Rolle. Das wird schnell an einem Beispiel deutlich:

$$7/8*3/5=(7*3)/(8*5)=21/40$$

$$3/5*7/8=(3*7)/(5*8)=21/40$$

Aber Vorsicht: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division von Brüchen! Berechne zum Beispiel

$$1/2 : 1/3=1/2 *3/1=3/2$$.

Vertauschst du nun die Brüche, erhältst du

$$1/3 : 1/2 = 1/3 * 2/1 = 2/3$$,

also verschiedene Ergebnisse!

Das Assoziativgesetz der Bruch-Multiplikation

Wenn du mehr als zwei Brüche miteinander multiplizierst, kann eine Änderung der Reihenfolge der Multiplikation hilfreich sein. Den Vorteil siehst du leicht an einem Beispiel:

$$7/8*3/5*10/9$$

Rechnest du zuerst $$7/8 * 3/5$$, kannst du nicht kürzen, bei der Rechnung $$ 3/5 * 10/9$$ aber schon!

Wie gut, dass dir das Assoziativgesetz erlaubt, die Klammern beliebig zu setzen.

Jetzt kannst du die Reihenfolge der Multiplikation aus dem Beispiel selbst festlegen:

$$7/8*3/5*10/9=7/8*(3/5*10/9)=7/8*((3*10)/(5*9))=7/8*2/3=7/12$$

Kombination von Kommutativ- und Assoziativgesetz

Hast du einen Bruchterm mit drei oder mehr Brüchen, bei dem nur die Punktrechnung vorkommt, kannst du durch geschicktes Tauschen der Faktoren und Setzen von Klammern das Rechnen vereinfachen.

Hier ein Beispiel:

$$ 3/2 *5/2 * 4/7 * 3/5 = 3/2 * 4/7 *5/2 * 3/5 = (3/2 * 4/7) * (5/2 * 3/5)$$

$$= ((3 * 2)/7) * 3/2 = 9/14$$

Auch bei Divisionsaufgaben können dir diese Gesetze helfen, indem du einfach zuerst den Kehrwert bildest:

$$(3/4$$$$:$$$$5/16)*4/3=(3/4$$$$*$$$$16/5)*4/3=(3/4*4/3)*16/5=16/5$$

Vorrangregeln beim Bruchrechnen

Was passiert, wenn in einem Bruchterm Punkt- und Strichrechnung zusammen vorkommen?

Auch hier gilt wie bisher: Punkt- vor Strichrechnung!

Ohne Klammern im Term rechnerst du immer zuerst Mal und Geteilt und im Anschluss Plus und Minus.

Ein Beispiel dazu:

$$1/2+2/3*5/4=1/2+$$$$(2/3*5/4)$$$$= 1/2+(2*5)/(3*4)=1/2+5/6$$

$$=(3+5)/6=8/6=4/3$$

Stehen in einem Bruchterm Klammern, gehören die Terme in den Klammern zusammen und werden zuerst berechnet, wie in diesem Beispiel:

$$5/6*(6/5+3/4)=5/6*((6*4 + 3*5)/(5*4))=5/6 * (24+15)/20$$

$$=5/6*39/20=1/2*13/4=13/8$$

Es geht aber manchmal auch einfacher…

Das Distributivgesetz der Bruchrechnung

Manchmal ist es auch beim Bruchrechnen vorteilhaft, die Klammern aufzulösen, genauso wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen.

Damit lässt sich das Beispiel viel einfacher rechnen:

$$5/6$$$$*(6/5+3/4)= $$$$5/6$$$$*6/5+ $$$$5/6$$$$*3/4=1+(5*1)/(2*4)=8/8+5/8=13/8$$

Das Distributivgesetz gilt natürlich auch, wenn in der Klammer eine Differenz (Minusrechnung) statt eine Summe vorkommt, oder der Faktor hinter der Klammer steht. Dazu gleich ein Beispiel:

$$(6/5-3/4)$$$$*5/6$$$$=6/5*$$$$5/6$$$$-3/4*$$$$5/6$$$$=1-5/8=8/8-5/8=3/8$$

Das Distributivgesetz bei der Division von Brüchen

Das Distributivgesetz gilt auch für die Division.

Da du dividierst, darfst du die Reihenfolge hier nicht (wie bei der Multiplikation) vertauschen!

$$(2/5+1/3):2/3=2/5:2/3+1/3:2/3= 2/5*3/2 + 1/3*3/2 = 3/5+1/2$$

$$=(6+5)/10=11/10= 1 1/10$$

Natürlich gilt das Distributivgesetz auch für eine Differenz, dazu ein Beispiel:

$$(12/5-7/10):4/15=12/5:4/15-7/10:4/15$$

Jetzt kannst du die Kehrbrüche bilden und danach kürzen:

$$=12/5*15/4-7/10*15/4=(3*3)/1-(7*3)/(2*4)=9-21/8$$

$$=72/8-21/8=51/8=6 3/8$$

Wo liegen die Vorteile der Rechengesetze?

Die Gesetze sollen dir helfen, einfacher zu rechnen. Schaue dir also genau an, wo du kürzen oder schnell einen Hauptnenner finden kannst!

Beispiel $$5/9*(3/7+6/15)$$

Wie müsstest du ohne die Gesetze anfangen? Genau, den Hauptnenner aus 7 und 15 suchen - oje! Aber 5 und 15, oder 3, 6 und 9, könnte man schön kürzen. Das Distributivgesetz erleichtert dir hier die Rechnung:

$$5/9*(3/7+6/15)=5/9*3/7+5/9*6/15=(5*1)/(3*7)+(1*2)/(3*3)=5/21+2/9$$

$$=(15+14)/63=29/63$$

Beispiel $$(7/5+8/5)*3/18$$

Ausmultiplizieren muss aber nicht immer einfacher sein - hier haben die Brüche in der Klammer bereits denselben Nenner, und du rechnest einfach

$$(7/5+8/5)*3/18=15/5*3/18=3*3/18=9/18=1/2$$

Distributivgesetz rückwärts

Es kann sogar vorteilhaft sein, einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, um zuerst eine Summe (Plusaufgabe) zu bilden. Dies ist dann sinnvol,l wenn du schon gemeinsame Nenner oder geeignete Hauptnenner finden kannst.

Ein Beispiel dazu:

$$3/8*$$$$5/7$$$$+3/8*$$$$9/7$$$$=3/8*$$$$((5+9)/7)$$$$=3/8*14/7=3/8*2=6/8=3/4$$