Rechengesetze Multiplikation und Division
Wiederholung der Division und Multiplikation von Brüchen
Erinnerst du dich an die Regeln der Punktrechnung von Brüchen?
Multiplikation
Du multiplizierst zwei Brüche, indem du jeweils die Zähler und Nenner multiplizierst. Ein Beispiel:
54⋅37=5⋅34⋅7=1528
Tipp: Es kann sich lohnen vor der Multiplikation zu kürzen, um mit kleineren Zahlen zu rechnen. Auch dazu ein Beispiel:
3625⋅1524=36⋅1525⋅24=3⋅35⋅2=910
Division
Du dividierst zwei Brüche, indem du den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multiplizierst. Ein Beispiel:
53:72=53⋅27 =5⋅23⋅7=1014
Auch hier lohnt es sich zu kürzen, wie im Beispiel:
6433:1655=6433⋅5516=64⋅5533⋅16=4⋅53⋅1=203
Wichtig: Bilde immer zuerst den Kehrbruch und kürze danach!
Beim Multiplizieren rechnest du Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.
Beim Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert.
Kommutativgesetz bei der Bruch-Multiplikation
Genau wie bei der Addition, spielt auch bei der Multiplikation von Brüchen die Reihenfolge keine Rolle. Das wird schnell an einem Beispiel deutlich:
78⋅35=7⋅38⋅5=2140
35⋅78=3⋅75⋅8=2140
Kommutativgesetz
Bei der Multiplikation von Brüchen spielt die Reihenfolge keine Rolle:
ab⋅cd=cd⋅ab
Aber Vorsicht: Das Kommutativgesetz gilt nicht für die Division von Brüchen! Berechne zum Beispiel
12:13=12⋅31=32.
Vertauschst du nun die Brüche, erhältst du
13:12=13⋅21=23,
also verschiedene Ergebnisse!
Das Assoziativgesetz der Bruch-Multiplikation
Wenn du mehr als zwei Brüche miteinander multiplizierst, kann eine Änderung der Reihenfolge der Multiplikation hilfreich sein. Den Vorteil siehst du leicht an einem Beispiel:
78⋅35⋅109
Rechnest du zuerst 78⋅35, kannst du nicht kürzen, bei der Rechnung 35⋅109 aber schon!
Wie gut, dass dir das Assoziativgesetz erlaubt, die Klammern beliebig zu setzen.
Assoziativgesetz
In einem Produkt aus drei oder mehr Faktoren, dürfen Klammern beliebig gesetzt werden.Der Wert des Produkts ist unabhängig von der Stellung der Klammern, sie können auch weggelassen werden:
(ab⋅cd)⋅ef=ab⋅(cd⋅ef)=ab⋅cd⋅ef
Jetzt kannst du die Reihenfolge der Multiplikation aus dem Beispiel selbst festlegen:
78⋅35⋅109=78⋅(35⋅109)=78⋅(3⋅105⋅9)=78⋅23=712
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Kombination von Kommutativ- und Assoziativgesetz
Hast du einen Bruchterm mit drei oder mehr Brüchen, bei dem nur die Punktrechnung vorkommt, kannst du durch geschicktes Tauschen der Faktoren und Setzen von Klammern das Rechnen vereinfachen.
Hier ein Beispiel:
32⋅52⋅47⋅35=32⋅47⋅52⋅35=(32⋅47)⋅(52⋅35)
=(3⋅27)⋅32=914
Auch bei Divisionsaufgaben können dir diese Gesetze helfen, indem du einfach zuerst den Kehrwert bildest:
(34:516)⋅43=(34⋅165)⋅43=(34⋅43)⋅165=165
Vorrangregeln beim Bruchrechnen
Was passiert, wenn in einem Bruchterm Punkt- und Strichrechnung zusammen vorkommen?
Auch hier gilt wie bisher: Punkt- vor Strichrechnung!
Ohne Klammern im Term rechnerst du immer zuerst Mal und Geteilt und im Anschluss Plus und Minus.
Ein Beispiel dazu:
12+23⋅54=12+(23⋅54)=12+2⋅53⋅4=12+56
=3+56=86=43
Stehen in einem Bruchterm Klammern, gehören die Terme in den Klammern zusammen und werden zuerst berechnet, wie in diesem Beispiel:
56⋅(65+34)=56⋅(6⋅4+3⋅55⋅4)=56⋅24+1520
=56⋅3920=12⋅134=138
Es geht aber manchmal auch einfacher…
Das Distributivgesetz der Bruchrechnung
Manchmal ist es auch beim Bruchrechnen vorteilhaft, die Klammern aufzulösen, genauso wie beim Rechnen mit ganzen Zahlen.
Distributivgesetz
Eine Klammer kannst du auflösen, indem du jede Zahl in der Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multiplizierst:
ab⋅(cd+ef)=ab⋅cd+ab⋅ef=a⋅cb⋅d+a⋅eb⋅f
Damit lässt sich das Beispiel viel einfacher rechnen:
56⋅(65+34)=56⋅65+56⋅34=1+5⋅12⋅4=88+58=138
Das Distributivgesetz gilt natürlich auch, wenn in der Klammer eine Differenz (Minusrechnung) statt eine Summe vorkommt, oder der Faktor hinter der Klammer steht. Dazu gleich ein Beispiel:
(65-34)⋅56=65⋅56-34⋅56=1-58=88-58=38
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Das Distributivgesetz bei der Division von Brüchen
Das Distributivgesetz gilt auch für die Division.
Distributivgesetz der Division
Dividiere jeden Bruch in der Klammer durch den Bruch hinter der Klammer:
(ab+cd) :ef =ab:ef+cd :ef=a⋅fb⋅e+c⋅fd⋅e
Da du dividierst, darfst du die Reihenfolge hier nicht (wie bei der Multiplikation) vertauschen!
(25+13):23=25:23+13:23=25⋅32+13⋅32=35+12
=6+510=1110=1110
Natürlich gilt das Distributivgesetz auch für eine Differenz, dazu ein Beispiel:
(125-710):415=125:415-710:415
Jetzt kannst du die Kehrbrüche bilden und danach kürzen:
=125⋅154-710⋅154=3⋅31-7⋅32⋅4=9-218
=728-218=518=638
Wo liegen die Vorteile der Rechengesetze?
Die Gesetze sollen dir helfen, einfacher zu rechnen. Schaue dir also genau an, wo du kürzen oder schnell einen Hauptnenner finden kannst!
Beispiel 59⋅(37+615)
Wie müsstest du ohne die Gesetze anfangen? Genau, den Hauptnenner aus 7 und 15 suchen - oje! Aber 5 und 15, oder 3, 6 und 9, könnte man schön kürzen. Das Distributivgesetz erleichtert dir hier die Rechnung:
59⋅(37+615)=59⋅37+59⋅615=5⋅13⋅7+1⋅23⋅3=521+29
=15+1463=2963
Beispiel (75+85)⋅318
Ausmultiplizieren muss aber nicht immer einfacher sein - hier haben die Brüche in der Klammer bereits denselben Nenner, und du rechnest einfach
(75+85)⋅318=155⋅318=3⋅318=918=12
Distributivgesetz rückwärts
Es kann sogar vorteilhaft sein, einen gemeinsamen Faktor auszuklammern, um zuerst eine Summe (Plusaufgabe) zu bilden. Dies ist dann sinnvol,l wenn du schon gemeinsame Nenner oder geeignete Hauptnenner finden kannst.
Ein Beispiel dazu:
38⋅57+38⋅97=38⋅(5+97)=38⋅147=38⋅2=68=34
Betrachte jeden Term genau, bevor du anfängst zu rechnen - so findest du häufig die einfacheren Rechenwege!
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