Gemischte Zahlen
Gemischte Zahlen
Brüche hast du erst mal als Zahlen zwischen $$0$$ und $$1$$ kennengelernt. Du kannst aber auch Zahlen größer als $$1$$ als Bruch schreiben!
Ganze Torten
Du kannst Ganze als Brüche darstellen. Zum Beispiel an einer Torte:
Du kannst sagen:
- Ich habe eine ganze Torte.
oder
- Die $$16$$ Stücke sind eine ganze Torte. $$16/16$$ sind hier ein Ganzes.
Wenn du zwei Torten hast, sieht das so aus:
Hier hast du zwei Ganze. Wenn du die 16tel zählst, findest du heraus, dass es $$32$$ sind. $$2$$ Ganze sind also gleich $$32/16$$.
- Bei genau einem Ganzen sind Zähler und Nenner gleich groß.
- Bei mehreren Ganzen ist der Nenner ein Teiler von dem Zähler. (16 ist ein Teiler von 32.)
Du kannst auch sagen: Der Zähler kommt in der Vielfachenreihe des Nenners vor. - Du erkennst einen größeren Bruch als 1 daran, dass die Zahl im Zähler größer ist als die Zahl im Nenner.
Bilder: Jutta Fahle
In Kurzform heißt das:
Nenner $$*$$ ? = Zähler.
? steht für eine beliebige Zahl.
Ist ? = 1, liegt ein Ganzes vor.
Brüche größer als ein Ganzes aufschreiben
Wie schreibst du Brüche auf, die größer als 1 sind? Es gibt 2 Möglichkeiten.
Beispiel: Dieses Bild zeigt mehr als ein Ganzes.
Schreibweise 1: gemischte Zahl
Ein Ganzes kannst du schreiben als $$1$$. Dazu kommen $$2/5$$. Also sind es $$1+2/5$$.
Die Kurzschreibweise ist $$1 2/5$$.
Die gemischte Schreibweise heißt gemischt, weil sie eine ganze Zahl und eine Bruchzahl mischt. Was rauskommt, ist eine gemischte Zahl.
Schreibweise 2: unechter Bruch
Zähle alle 5tel. Das Ganze hat $$5/5$$. Dazu kommen $$2/5$$. Insgesamt sind es $$7/5$$.
Ist der Zähler größer als der Nenner, nennst du diesen Bruch auch unechten Bruch. Unecht heißt er deswegen, weil du Ganze getrennt aufschreiben könntest.
Brüche größer als mehrere Ganze
Beide Schreibweisen gibt es auch mit Brüchen, die größer als zwei Ganze oder mehr Ganze sind.
Die Vorgehensweise ist aber dieselbe. Auch hier gibt es zwei Schreibweisen.
Schreibweise 1: gemischte Zahl
Zähle zuerst alle Ganzen.
Insgesamt $$3$$ Ganze und $$5/24$$.
Kurzschreibweise: $$3 5/24$$
Schreibweise 2: unechter Bruch
Zähle alle 24stel.
Zusammen sind das $$72/24$$ und $$5/24$$. Das sind dann $$77/24$$. Auch hier ist der Zähler wieder größer als der Nenner.
Im letzten Kreis ist ein echter Bruch dargestellt. Hier $$5/24$$. Bei echten Brüchen ist der Zähler kleiner als der Nenner.
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Gemischte Zahlen in unechte Brüche umwandeln
Die Bilder sind zwar praktisch, aber mit großen Zahlen wird’s schnell unübersichtlich. Da hilft nur Rechnen.:-)
Wie kommst du von der gemischten Schreibweise zum unechten Bruch?
Beispiel:
$$2 1/4 = ?/4$$
- Schritt 1: Zuerst rechnest du $$2 *4 = 8$$. Jetzt weißt du, wie viele Viertel die zwei Ganzen haben.
- Schritt 2: $$8/4$$ und das eine Viertel sind zusammen $$9/4$$.
In kurz: $$2 1/4 = (2*4)/4 + 1/4 = 8/4+1/4= 9/4$$.
Stell dir zur Kontrolle das Bild zur Rechnung vor:
Sind insgesamt $$9$$ Viertel. Passt.
So wandelst du gemischte Zahlen in unechte Brüche um:
Schritt 1: Rechne Ganze $$*$$ Nenner.
Schritt 2: Addiere den Zähler des echten Bruchs.
$$2 1/4 = (2*4)/4 + 1/4 = 9/4$$.
Unechte Brüche in gemischte Zahlen umwandeln
Und andersrum? Willst du von dem unechten Bruch in die gemischte Schreibweise umwandeln, benötigst du die Rechenart „Teilen mit Rest“.
Beispiel:
$$9/4=?$$ in gemischter Schreibweise
Schritt 1: Prüfe, wie oft die 4 in die 9 passt. Du kannst auch sagen, dass du 9 : 4 rechnest. Die 4 passt 2-mal in die 9. Diese 2 sind jetzt die Ganzen der gemischten Schreibweise.
Schritt 2: Der Rest von 9 : 4 ist 1.
Mögliche Schreibweise: 9 : 4 = 2 Rest 1. Jetzt schreibst du den Rest als unechten Bruch auf, also $$9:4 = 2 1/4$$.
In kurz: 9 : 4 = 2 Rest 1. Also $$9:4 = 2 1/4$$.
So wandelst du einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl um:
- Schritt 1: Schreibe den Bruch als Division mit $$:$$. Rechne aus.
Oder: Bestimme, wie oft der Nenner in den Zähler passt. - Schritt 2: Schreibe den Rest als echten Bruch.
9 : 4 = 2 Rest 1. Also $$9:4 = 2 1/4$$.
Ob du einen Bruch mit Bruchstrich oder mit $$:$$ notierst, ändert nichts an seinem Wert.
Beispiel: $$1/4 = 1:4$$
Und kürzen?
Unechte Brüche
Unechte Brüche kannst du auch manchmal kürzen.
Beispiel:
$$45/10$$. Der Zähler und der Nenner haben einen gemeinsamen Teiler, die $$5$$. Wenn du jetzt mit $$5$$ kürzt, kommen $$9/2$$ heraus.
Du kannst immer kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.
Gemischte Schreibweise
Brüche in der gemischten Schreibweise kannst du im echten Bruch auch kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler besitzen.
Beispiel:
$$4 6/8 =?$$
$$6$$ und $$8$$ haben den gemeinsamen Teiler $$2$$. Du kannst also den echten Bruch mit $$2$$ kürzen.
$$4 6/8 = 4 3/4$$
Die Ganzen betrifft das Kürzen nicht.
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Umwandlungen mit Variablen
Du findest auch Aufgaben mit Variablen.
Beispiel:
$$x/7=3 6/7$$
Das ist aber nur eine andere Art, die Umwandlung aufzuschreiben. Die Frage ist hier nach dem Zähler des unechten Bruchs.
Du rechnest $$3*7=21$$. Zu der $$21$$ addierst du die $$6$$ des echten Bruchs. Dann erhältst du den neuen Zähler des unechten Bruchs.
$$21+6=27$$
Der unechte Bruch ist $$27/7$$.
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