Wer hat mehr Likes?

Tony und Carla sind neu bei Instagram. Sie schreiben sich jeden Tag die Anzahl der Likes auf.

Hier ist die Häufigkeitstabelle:

So viele Zahlen… Geht das irgendwie zusammenzufassen?

Bestimmt hast du schon einmal vom Durchschnitt gehört. Damit du die Daten besser vergleichen kannst, könntest du fragen: Wer bekommt im Durchschnitt mehr Likes pro Tag?

Den Durchschnitt berechnest du, indem du alle Likes addierst und das Ergebnis durch die Anzahl der Tage dividierst.

Ergebnis für Tony:

$$frac{2+4+3+5+1+4+2}{7}=frac{21}{7}=3$$

Ergebnis für Carla:

$$frac{1+2+4+3+2+2+7}{7}=frac{21}{7}=3$$

Carla hat also in der Woche im Durchschnitt genauso viele Likes bekommen wie Tony.

Das arithmetische Mittel

Das Wort „Durchschnitt“ ist eher umgangssprachlich. Mathematiker nennen den Durchschnitt das arithmetische Mittel oder kurz Mittelwert.

Das Symbol ist oft $$bar x$$. Sprich: „x quer“.

Du benutzt das arithmetische Mittel, um unübersichtliche Daten mit nur einem Wert zu kennzeichnen. So kannst du die Daten gut vergleichen.

So berechnest du das arithmetische Mittel:

1. Schritt: Addiere alle Daten.
2. Schritt: Dividiere das Ergebnis durch die Anzahl der Daten.

Körpergrößen

Drei Mädchen und drei Jungen aus der 6c haben ihre Körpergröße angegeben:

Gib das arithmetische Mittel der Mädchen und der Jungen an.

Möglichkeit 1: Rechne in 2 Schritten.

Mädchen:

1. Schritt: $$1,23 \ m+1,45 \ m+1,25 \ m = 3,93 \ m$$

2. Schritt: $$frac{3,93 \ m}{3}=1,31 \ m $$

Ergebnis: Die Durchschnittsgröße der 3 Mädchen beträgt $$1,31 \ m$$.

Möglichkeit 2: Fasse beide Schritte zusammen.

Jungen:

$$frac{1,05 \ m+1,34 \ m+1,35 \ m}{3}$$
$$ = frac{3,74 \ m}{3}$$

$$= 1,2466… \ m $$
$$approx1,25 \ m $$

Ergebnis: Die Durchschnittsgröße der 3 Jungen beträgt ungefähr $$1,25 \ m$$.

Mittelwert und absolute Häufigkeiten

In der folgenden Häufigkeitsliste kommen einige Werte mehrfach vor:

Um den Mittelwert für diesen Fall zu berechnen, gehst du so vor:

1. Schritt: Multipliziere jeden Wert mit seiner absoluten Häufigkeit.
2. Schritt: Addiere die Produkte.
3. Schritt: Dividiere das Ergebnis durch die Summe der absoluten Häufigkeiten.

$$frac{2*1,22 \ €+3*1,46 \ €+1*2,10 \ €+4*4,82 \ €}{2+3+1+4}=frac{28,20 \ €}{10}=2,82 \ €$$

Der Mittelwert beträgt $$2,82 \ €$$.

Das arithmetische Mittel im Diagramm

Diese Säulendiagramme zeigen für die Jahre 2013 und 2015 Durchschnittstemperaturen in Deutschland über die Jahreszeiten Winter, Frühling, Sommer und Herbst.

Berechne den Mittelwert dieser Durchschnittswerte. Runde auf eine Nachkommastelle.

Jahr 2013:

$$barx=frac{0,3+6,7+17,7+9,5}{4}=frac{34,2}{4}approx8,6 \ ^°C$$
Der Mittelwert der Durchschnittstemperaturen 2013 beträgt etwa $$8,6 \ ^°C$$.

Jahr 2015:

$$barx=frac{1,9+8,6+18,4+9,6}{4}=frac{38,5}{4}approx9,6 \ ^°C$$
Der Mittelwert der Durchschnittstemperaturen 2015 beträgt etwa $$9,6 \ ^°C$$.

Hier sind die 2 Mittelwerte eingezeichnet. So hast du eine noch schnellere Übersicht über die Daten zu den Jahreszeiten.