Zweistufiges Zufallsexperiment

Tony und Carla drehen ein Glücksrad. Jeder darf zweimal hintereinander drehen. Gewonnen hat, wer zweimal rot dreht.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für zweimal rot?

Baumdiagramm

Wenn du ein ein Glücksrad zweimal hintereinander drehst, ist das ein zweistufiges Zufallsexperiment. Das kannst du gut in einem Baumdiagramm darstellen:

R steht für rot und B steht für blau.

So kannst du die Ergebnismenge S ablesen: S = {RR ; RB ; BR ; BB}.

Wieso Baumdiagramm??

Stelle dir das Baumdiagramm umgedreht vor, dann sieht’s schon eher aus wie ein Baum.

Der Ursprung, oft als Start bezeichnet, entspricht der Baumwurzel. Die Äste heißen im Diagramm Pfade. Ein Pfad eines Baumdiagramms entspricht einem möglichen Ergebnis des Zufallsexperiments.

Das Glücksrad

Ja, aber wie groß ist denn nun die Wahrscheinlichkeit für zweimal rot?

Das Glücksrad ist in 4 Felder geteilt. Die Wahrscheinlichkeit von rot ist $$1/4$$ und die Wahrscheinlichkeit von blau ist $$3/4$$.
Beim zweiten Dreh sind die Wahrscheinlichkeiten genauso.

Für die Wahrscheinlichkeit von „RR“ heißt das $$frac{1}{4}$$ von $$frac{1}{4}$$. Das ist dasselbe wie $$1/4*1/4$$ und ergibt $$frac{1}{16}$$.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn ist $$p = frac{1}{16}$$.

Würfelexperiment

Wenn du würfelst, hast du ja 6 Ergebnisse: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Was ist, wenn du zweimal würfelst?

Die erste Stufe des Baumdiagramms hat 6 Pfade.
Ein Pfad endet bei einem Knoten. Dort beginnen die Pfade der zweiten Stufe. Auf der zweiten Stufe gibt es auch jeweils die 6 Ergebnisse.

An die Pfade schreibst du die Wahrscheinlichkeiten. (Wenn Platz ist. :))

(Vorsicht: Unten in der Ergebnismenge steht nicht die Zahl 11 (elf), sondern das Ereignis, dass du zweimal eine 1 hintereinander würfelst.)

Die Wahrscheinlichkeit, dass zweimal hintereinander „1“ fällt, berechnest du mit $$p=1/6*1/6= frac{1}{36}$$.

Oder du überlegst dir, dass es insgesamt 36 Ergebnisse gibt. Jedes Ergebnis ist gleichwahrscheinlich. Also ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis $$1/36$$. Das geht aber nur, weil die Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind.

Urnenexperiment

Urnen sind ja immer sehr beliebt. :)

Eine Urne enthält vier farbige Kugeln: ROT (R), BLAU (B), GRÜN (G) und LILA (L)). Aus der Urne wird zweimal mit Zurücklegen gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „GL“?

So sieht das Baumdiagramm aus:

Die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug „G“ zu erhalten, beträgt $$frac{1}{4}$$ und die für den zweiten Zug „L“ zu erhalten, ebenfalls $$frac{1}{4}$$. Multipliziere: $$p = 1/4*1/4=frac{1}{16}$$.

Oder so:

Bei diesem Zufallsexperiment sind 16 Ergebnisse möglich, alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. Also berechnest du aus der Anzahl der günstigen (1) und möglichen (16) Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „GL“ so: $$p = frac{1}{16}$$.

Kartenspiel

Kennst du Kartenspiele mit dem „normalen“ 32-Karten-Blatt? Kennst du auch den Begriff „Lusche“?

Luschen sind Spielkarten, bei denen keine Augen zählen. Im Skatspiel sind das die Karten „7“, „8“ und „9“. Für die Luschen bekommst du 0 Punkte.

Nimm alle Luschen und ziehe daraus zwei Karten mit Zurücklegen. Die Farbe ist egal, notiere nur 7, 8 oder 9.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass erst eine „7“ und dann eine „8“ gezogen wird?

So sieht das Baumdiagramm aus:

Bei diesem Zufallsexperiment sind 9 Ergebnisse möglich:
S $$=$${77 ; 78 ; 79 ; 87 ; 88 ; 89 ; 97 ; 98 ; 99}.

Die Wahrscheinlichkeit im ersten Zug „7“ zu erhalten, beträgt $$frac{4}{12}$$. Denn es gibt 12 Karten insgesamt (mögliche Ergebnisse) und 4 Karten mit einer „7“ (günstige Ergebnisse).
Beim 2. Zug ist es genauso. Multipliziere beide Wahrscheinlichkeiten, die zum Ergebnis „78“ gehören: $$p = frac{4}{12}*frac{4}{12}=frac{1}{3}*frac{1}{3}=frac{1}{9$$.

Oder so:

Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. Also berechnest du aus der Anzahl der günstigen (1) und möglichen (9) Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis „78“ $$ p = frac{1}{9}$$.

(Das Gleiche gilt für alle anderen Luschen.)