Brüche und Prozente

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Brüche und Prozente

Brüche und Prozentzahlen

Lisa und Jannis trainieren für ein Sportabzeichen.
Lisa hat schon 80 Prozent der Anforderungen für ein goldenes Abzeichen erfüllt. Jannis hat ein Fünftel der geforderten Leistungen noch nicht geschafft.

Verwirrend? Wer von den beiden ist denn nun die größere Sportskanone? Das lässt sich deshalb so schwer sagen, weil die Anteile einmal als Bruch und einmal als Prozentzahl angegeben wurden.

Anteile kannst du nämlich nicht nur als Brüche, sondern auch in Prozent angeben. Wie hängen diese beiden Angaben zusammen?

Brüche und Prozente

Was heißt eigentlich Prozent $%$ ?

Um Anteile leichter vergleichen zu können, gibt es diesen Trick mit $%$ : Du teilst das Ganze in $100$ gleiche Teile auf, egal, wie groß das Ganze ist. Ein Teil ist dann ein Hundertstel.

Ein Hundertstel ist ein Prozent.
Kurz: $1/100=1$ $%$

Als Bild: Du färbst 1 Kästchen von 100 Kästchen ein.

Brüche und Prozente

Was ist, wenn du mehr Kästchen einfärbst?

Hier sind 43 Kästchen von 100 Kästchen eingefärbt. Das sind $43/100$ oder $43$ $%$ .

Brüche und Prozente

Anteile kannst du als Bruch oder mit Prozent $%$ angeben.
Hundertstelbrüche kannst du einfach in Prozent umwandeln.
Es gilt: $1/100 = 1$ $%$

Prozent (lat.) :

pro: von
centus: hundert

Prozentangaben beziehen sich immer auf das Ganze. 43 % von 100 Schülern sind was anderes als 43 % von 1000 Schülern. Wie das alles zusammenhängt, lernst du später.:)

Welcher Bruch ist genauso groß wie 80 %?

Zurück zur Aufgabe:

$80 %$ meint also nichts anderes als $80$ von $100$ oder $80/100$ .

Eigentlich brauchst du hier gar nichts umzuwandeln. Du schreibst einfach nur die Prozentzahl auf den Bruchstrich (in den Zähler) und eine $100$ darunter (in den Nenner). Wenn möglich, kürze den Bruch.

Also:

$80/100 = 8/10 = 4/5$

Wenn Lisa also $80 %$ der Anforderungen erfüllt hat,
dann sind immer $4$ von jeweils $5$ sportlichen Leistungen erbracht.
Da war sie also ziemlich gut, oder?

So wandelst du eine Prozentangabe in einen Bruch um:

Schreibe die Prozentzahl in den Zähler und 100 in den Nenner.
Kürze.

Beispiel: $10 % = 10/100 =1/10$

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Wie viel Prozent sind $1/5$ ?

Der umgekehrte Fall ist auch nicht viel schwieriger. Du brauchst den Bruch nur so zu erweitern oder zu kürzen, bis der Nenner $100$ heißt. Dann ist der Zähler deine Prozentzahl.

Bei $1/5$ erweiterst du darum mit $20$ und erhältst $20/100$ .

Also:

$1/5 stackrel(20)= (1 * 20)/(5 * 20) = 20/100 = 20 %$

So kannst du also die Prozentzahl direkt im Zähler ablesen.
Jannis hat also $20 %$ der geforderten Leistungen noch nicht erbracht.

Fällt dir was auf?

Lisa hat $80%$ geschafft,

Jannis fehlen noch $20 %$ .

$100 %$ bedeutet immer „alles“.
In diesem Fall also „alle Leistungen, um das Sportabzeichen zu kriegen“.
Wenn Lisa $80%$ geschafft hat, dann fehlen ihr automatisch $20%$ der Leistungen.
Lisa und Jannis sind also beide gleich gut fürs Sportabzeichen vorbereitet.

Das hörte sich zuerst gar nicht so an.

So wandelst du einen Bruch in eine Prozentangabe um:

Erweitere den Bruch auf einen Hunderterbruch.
Der Zähler ist die gesuchte Prozentzahl.

Beispiel: $3/5 stackrel(20)= 60/100=60 %$

Ist das immer so leicht?

Eigentlich schon. Es gibt jedoch Nenner, die sich nicht so einfach auf $100$ erweitern oder kürzen lassen. In diesem Fall machst du ein paar Schritte mehr, um zum Ergebnis zu kommen.

Beispiel 1:

Gib den Bruch $42/60$ als Prozentzahl an.

Weil $100$ kein Vielfaches von $60$ ist, kannst du hier nicht einfach auf $100$ erweitern. Aber du kannst den Bruch mit $6$ kürzen. Das gibt $7/10$ .

$42/60 = (42 : 6)/(60 : 6) = 7/10$

Diesen Bruch kannst du mit $10$ erweitern und bekommst $70/100$ , also $70 %$ .

$7/10 = (7 * 10)/(10 * 10) = 70/100 = 70 %$

Beispiel 2:

Wie viel Prozent sind $27/45$ ?

Hier kürzt du am besten mit $9$ . Dann hast du $3/5$ . Nun brauchst du nur noch mit $20$ zu erweitern und erhältst $60/100$ oder $60 %$ als Ergebnis.

$27/45 = (27 : 9)/(45 : 9) = 3/5$

$3/5 = (3 * 20)/(5*20) = 60/100 = 60 %$

Leider geht das nicht mit allen Brüchen so super… Zum Beispiel kannst du $1/3$ nicht auf einen 100er-Bruch erweitern. Das muss dich aber erstmal nicht interessieren, das lernst du später.