Periodische Dezimalbrüche
Periodische Dezimalbrüche
Du hast schon viel mit Brüchen und Dezimalbrüchen gerechnet, aber da gibt es noch eine Besonderheit: periodische Dezimalbrüche. Sie haben unendlich viele Nachkommastellen!
Aber der Reihe nach…
Es gibt 2 Wege, einen Bruch in einen Dezimalbruch umzuwandeln.
Weg 1: Erweitern oder Kürzen
Einen Bruch mit einer Zehnerpotenz im Nenner kannst du ganz einfach umwandeln:
Beispiel 1:
$$4/5\stackrel(2)=8/10=0,8$$
Beispiel 2:
$$7/40\stackrel(25)=175/1000=0,175$$
Weg 2: Bruch als Quotient
Du kannst jeden Bruch als Divisionsaufgabe schreiben und dann rechnen.
Beispiel:
$$7/40=7:40$$
So wandelst du einen Bruch in einen Dezimalbruch um:
Erweitere oder kürze so lange, bis du eine Zehnerpotenz im Nenner hast. Der Dezimalbruch hat so viele Nachkommastellen wie der Nenner Nullen hat.
Du kannst jeden Bruch als Quotienten von $$2$$ natürlichen Zahlen schreiben.
$$\text(Zähler)/\text(Nenner)=\text(Zähler):\text(Nenner)$$
Und wenn die Division nicht aufgeht?
Tja, und dann guck dir mal dieses Beispiel an:
Das geht immer so weiter! Oben kommt immer die 6 und unten bleibt immer der Rest 2.
Das sind periodische Dezimalbrüche. Periodisch heißen sie, weil sich einen Ziffernfolge (hier die 6) immer wiederholt. Die Periode ist die 6.
Du schreibst: $$2/3=0,\bar(6)$$
Die Periode markierst du mit einem Strich.
Du sprichst: „Null Komma Periode $$6$$“
Wenn du einen Bruch als Quotienten auffasst und sich eine Ziffer oder Zifferngruppe immer wiederholt, erhältst du einen periodischen Dezimalbruch. Beispiel: $$2/3 =0,66666…= 0,\bar(6)$$
Sprich: „Null Komma Periode $$6$$“
Das Wort „periodisch“ kommt von „Periodos“ (griechisch): Herumgehen, Umlauf, Wiederkehr
Mehrere Ziffern in der Periode
Noch ein Beispiel:
Wandle $$6/11$$ in einen Dezimalbruch um.
Hier wiederholen sich 2 Ziffern, nicht nur eine.
Das schreibst du so: $$6/11=0,bar(54)$$
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Gemischt-periodische Dezimalzahlen
Es kann auch passieren, dass die Periode gar nicht gleich hinter dem Komma beginnt, sondern erst später.
Wandle $$5/6$$ in einen Dezimalbruch um.
Erst nach der 8 kommt die Periode.
Setze den Strich für die Periode also genau über die 3, nicht über die 8.
$$5/6=0,8bar3$$
Sprich: „Null Komma 8 Periode 3“
Genauer untersucht
Wie lang kann so eine Periode werden?
Beispiel: $$3/7$$
Also: $$3/7=0,\bar(428571)$$
Bei einer 7 im Nenner, ist Periodenlänge maximal 6 (7–1).
Alle sechs bei der Division durch $$7$$ möglichen Reste sind vorgekommen. Länger als sechs Stellen kann die Periode der zu $$3/7$$ gehörigen Kommazahl nicht sein.
Die Periode kann auch kürzer sein als die maximale Länge.
Bei $$2/3=0,\bar(6)$$ ist das so. Die Periode besteht aus nur einer Ziffer statt aus $$2=3-1$$.
Zahlenspiele
Nicht alle Dezimalbrüche mit unendlich vielen Nachkommastellen, sind periodisch.
Beispiele:
- $$0,1101001000…$$
- $$0,12345678911223344…$$
- Du kannst dir weitere Beispiele ausdenken.
Unendliche Dezimalzahlen, die nicht periodisch sind, lassen sich nicht als Bruch schreiben.
Bei einem Bruch gibt es immer eine Periode, wenn die Division nicht aufgeht. Das liegt daran, dass nur so viele verschiedene Reste möglich sind, wie es der Nenner angibt. Irgendwann müssen sich die Ergebnisziffern wiederholen.
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Zusammenfassung
Es gibt drei Arten von Kommazahlen, die zu Brüchen gehören:
- endliche oder abbrechende Dezimalbrüche
$$1/5\stackrel(2)=2/10=0,2$$ - sofort-periodische oder rein-periodische Dezimalbrüche
$$8/9=0,\bar(8)$$ - gemischt-periodische Dezimalbrüche
$$5/6=0,8\bar(3)$$
Zu jedem Bruch gehört ein endlicher oder periodischer Dezimalbruch und umgekehrt.
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