Periodische Dezimalbrüche in Brüche umwandeln

Du weißt, wie du vom Bruch zum Dezimalbruch kommst (Zähler durch Nenner teilen). Wenn die Division nicht aufgeht, erhältst du periodische Dezimalbrüche.

Wie geht das andersrum? Wie kommst du von einem periodischen Dezimalbruch zu dem zugehörigen Bruch?

Blick zurück: Nicht-periodische Dezimalbrüche kannst du schon umwandeln.

$$0,2=2/10=1/5$$

$$0,04=4/100=1/25$$

Du wandelst sofort-periodische Dezimalbrüche um, indem du „9er-Zahlen“ in den Nenner schreibst.

Wandle $$0,\bar(23)$$ in einen Bruch um.

Die Periode ist 2 Ziffern lang. Dein Nenner ist dann 99. Dein Zähler ist 23.
$$0,\bar(23)=23/99$$

Noch ein Beispiel:

$$0,\bar(023)=23/999$$

Wenn du genauer wissen willst, warum das geht:

Wenn du Brüche umwandelst, deren Nenner aus Neunen besteht, stellst du fest, dass du den Zähler als Periode erhältst.

Beispiel 1:

$$1/9=0,bar(1)$$

Beispiel 2:

$$7/99=0,bar(07)$$

Beispiel $$0,\bar(123)$$ genauer untersucht

Wandle $$0,\bar(123)$$ in einen Bruch um.

Weil die Periode 3 Ziffern lang ist, nimmst du das 1000-fache der Zahl:

$$0,\bar(123)*1000=123,\bar(123)$$

Von dieser Zahl kannst du $$0,\bar(123)$$ leicht abziehen. Bei beiden Zahlen wiederholen sich dieselben Ziffern hinter dem Komma unendlich oft.

Wenn du vom Tausendfachen einer Zahl die Zahl einmal abziehst, hast du das $$999$$-fache der Zahl.

Du hast also herausgefunden:

$$\0,bar(123)*999=123$$

Wenn du die Umkehraufgabe bildest, erhältst du $$\0,bar(123)=123:999=123/999=41/333$$

Auf diesem Weg ist es dir gelungen, die sofort-periodische Dezimalzahl in einen Bruch umzuwandeln.

Mit dem gleichen Trick kannst du jede sofortperiodische Dezimalzahl umwandeln, bei einer dreistelligen Periode erhältst du im Zähler die Ziffern der Periode und im Nenner immer $$999$$.

Gemischt-periodische Dezimalzahlen umwandeln

Gemischt-periodische Dezimalbrüche umzuwandeln ist leider nicht so einfach…

So geht’s:

Wandle $$0,1bar(27)$$ in einen Bruch um.

Damit die Periode einmal vor dem Komma steht und sich dann hinter dem Komma unendlich oft wiederholt, multipliziere mit 1000:

$$0,1\bar(27)*1000=127,bar(27)$$

Von dieser Zahl kannst du nur eine sofortperiodische Zahl abziehen, also nicht die Zahl selbst, aber ihr Zehnfaches:

$$0,1\bar(27)*10=1,bar (27)$$.

Bei beiden Zahlen wiederholen sich die Ziffern $$2$$ und $$7$$ hinter dem Komma unendlich oft:

Noch ein Beispiel

Wandle $$0,01bar(6)$$ in einen Bruch um.

Damit die Periode einmal vor dem Komma steht und sich dann hinter dem Komma unendlich oft wiederholt, multipliziere mit 1000:

$$0,01bar(6)*1000=16,bar(6)$$

Von dieser Zahl kannst du nur eine sofortperiodische Zahl abziehen, also nicht die Zahl selbst, aber ihr Hundertfaches:

$$0,01bar(6)*100=1,bar (6)$$. Bei beiden Zahlen wiederholt sich die $$6$$ hinter dem Komma unendlich oft:

      $$16,bar(6)=0,01bar(6)*1000$$
$$-$$  $$1,bar (6)=0,01bar(6)*$$  $$100$$
─────────────────
       $$15$$    $$=0,01bar(6)*$$  $$900$$

Also erhältst Du

$$0,01bar(6)=\frac{15}{900}=\frac{1}{60}.$$

Tipp zur Kontrolle

Im Nenner erhältst du so viele Neunen, wie die Periode lang ist, und dann so viele Nullen, wie Ziffern zwischen Komma und Periode stehen.

Weiter geht es

Beispiel 1: Wandle $$0,0bar(1)$$ in einen Bruch um.

Multipliziere mit $$10$$, dann erhältst du

$$10*0,0bar(1)=0,bar(1)=1/9$$ und mit Hilfe der Umkehraufgabe

$$0,0bar(1)=(1/9)/10=1/90$$.

Beispiel 2: Wandle $$0,00bar(1)$$ in einen Bruch um.

Multipliziere mit $$100$$, dann erhältst du

$$100*0,0bar(1)=0,bar(1)=1/9$$ und mit Hilfe der Umkehraufgabe

$$0,00bar(1)=(1/9)/100=1/900$$.

Beispiel 3: Wandle $$0,0bar(01)$$ in einen Bruch um.

Multipliziere mit $$10$$, dann erhältst du

$$10*0,0bar(01)=0,bar(01)=1/99$$ und mit Hilfe der Umkehraufgabe

$$0,0bar(01)=(1/99)/10=1/990$$.

Zusammensetzen

Du kannst eine gemischt-periodische Dezimalzahl immer als Summe einer endlichen Dezimalzahl und einer periodischen Dezimalzahl schreiben

Beispiel 1:

Wandle $$2,4bar(3)$$ in einen Bruch um.

Zerlegen:

$$2,4bar(3)=2,4+0,0bar(3)$$

Die ganze Umwandlung:

$$2,4bar(3)=2,4 +0,0bar(3)=2 4/10 + 3/90= 2 12/30 +1/30=2 13/30$$

Beispiel 2:

Wandle $$0,08bar(3)$$ in einen Bruch um.

$$0,08bar(3)=0,08+0,00bar(3)=8/100+3/900=(24+1)/300=25/300=1/12$$