Abstand Punkt Gerade
Abstand
Abstand klingt ja erst mal ganz normal: der Abstand zwischen 2 Orten eben.
Eine Maps-App zeigt dir die kürzeste Wegstrecke zwischen 2 Städten, die du mit einem Auto fahren würdest. Das ist die blaue Linie in der Karte.
Mathematisch meint „Abstand“ aber immer den kürzesten Weg. Umgangssprachlich wäre das die „Luftlinie“ zwischen 2 Städten. Das ist die schwarze Linie in der Karte.
Mathematisch bedeutet „Abstand“ die kürzeste Verbindung zwischen 2 Orten.
In Mathe sind die Abstände Punkt zu Punkt und Punkt zu Gerade interessant.
In deiner Alltagssprache verwendest du vielleicht manchmal: „Nimm den kürzesten Abstand zu…“ Das ist mathematisch gesehen doppelt. Der Abstand ist schon die kürzeste Verbindung.
Abstand Punkt zu Punkt
Den Abstand zwischen 2 Punkten bestimmst du, indem du die beiden Punkte durch eine Strecke verbindest.
Eine Zickzacklinie kannst du für den Abstand nicht nehmen.
Der Abstand zwischen 2 Punkten $$A$$ und $$B$$ ist die Länge der Strecke $$bar (AB)$$. Für die Länge von $$bar (AB)$$ schreibst du auch $$|AB|$$.
Abstand Punkt zu Gerade
Was ist aber der Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden?
Du kannst ja verschiedene Verbindungsstrecken vom Punkt P zur Geraden einzeichnen.
Du suchst hier auch wieder die kürzeste Verbindung. Das ist die schwarze Strecke.
Die schwarze Strecke markiert also den Abstand von P zur Geraden. Sie steht senkrecht zur Ausgangsgeraden.
Es ist ausreichend, wenn du zur Abstandsbestimmung die senkrechte Strecke zwischen Punkt und Gerade einzeichnest.
Den Abstand zwischen Punkt und Gerade zeichnest du mithilfe einer senkrechten Strecke durch den Punkt P.
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Kleine Wiederholung: Senkrechte zeichnen
So zeichnest du die Senkrechte zu einer Geraden durch einen Punkt.:
Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade. Schiebe das Geodreieck so lange, bis du den Punkt erreichst. Zeichne die Senkrechte.
Für den Abstand reicht es, wenn du die Strecke zeichnest.
Wenn du prüfen willst, ob du wirklich eine Senkrechte gezeichnet hast, kannst die Spitze des Geodreiecks in den rechten Winkel legen. Passt die Spitze genau, ist auch ein 90°-Winkel vorhanden. Zur Not kannst du das auch mit einem Blatt Papier machen.
Abstand messen
Wie groß ist nun der Abstand? Das kennst du schon: Abstände misst du mit Lineal oder Geodreieck.
Mit Lineal
Das Lineal legst du mit der 0 an den Anfangspunkt der Strecke an. Es ist wichtig, dass du das Beispiellineal unten nicht mit der Kante an den Anfangspunkt legst. Da beginnt die Messlatte dieses Lineals noch nicht.
Die 0 legst du an den Punkt an, von dem aus du misst.
Hier ist der Abstand vom Punkt zur Geraden 4,5 cm.
Mit Geodreieck
Das Geodreieck legst du auch mit der 0 an den Anfangspunkt der Strecke. Nur ist hier die 0 in der Mitte der längsten Seite des Geodreiecks. Dann kannst du die Länge der Strecke ablesen.
Es ist egal, ob du von dem Punkt zur Geraden oder von der Geraden zum Punkt misst. Das Ergebnis ist dasselbe, sonst hast du dich vermessen.
Hier ist der Abstand von P zur Geraden 4,5 cm.
Mit dem Geodreieck kannst du sogar gleichzeitig messen und zeichnen. Dazu legst du das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade.
Manche Lineale besitzen keine 0. Die erste Zahl, die dort steht, ist die 1. Das liegt daran, dass die Messeinteilung des Lineals ganz am Rand beginnt.
Wozu brauchst du den Abstand?
Hier siehst du ein paar Beispiele für den Abstand im Alltag.
Luftfahrt
Im Flugzeug wird ständig überprüft, wie weit das Flugzeug vom Boden entfernt ist. Messinstrumente messen den Abstand. So kann der Pilot den falschen Abstand sofort korrigieren. Das ist wichtig, damit es in der Luft nicht zu Zusammenstößen kommt und damit das Flugzeug immer hoch genug fliegt.
Schifffahrt
Im Schiff kontrollieren Messinstrumente den Abstand zum Meeresboden. Das soll verhindern, dass das Schiff in eine Untiefe gerät. Untiefen sind Gebiete, in denen der Meeresboden höher ist als sonst. An der Küste kommt das öfter vor.
Vom Schiff aus wird auch der kürzeste Abstand zum Land bestimmt. Der Kapitän kann so die Fahrstrecke möglichst kurz halten.
Straßen überqueren
Haben deine Eltern auch schon oft gesagt, du sollst nicht schräg über die Straße gehen? Du sollst den kürzesten, also den schnellsten Weg über die Straße nehmen. Das ist am sichersten. Der kürzeste Weg ist der mathematische Abstand zum Straßenrand. Du sollst im rechten Winkel über die Straße gehen.
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Beispiele aus der Mathematik
Spiegelbild
Willst du ein Spiegelbild zeichnen, kannst du das mit dem Abstand tun. Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Spiegelachse. Miss den Abstand der zu spiegelnden Punkte auf der einen Seite und trage die Punkte auf der anderen Seite der Mittellinie im selben Abstand ein.
Höhe von Figuren
Willst du in einer Figur die Höhe messen, ist das der Abstand von einem Punkt zu einer Strecke in der Figur.
Beispiel:
Die Höhe des Dreiecks auf Seite c bestimmst du, indem du das Geodreieck mit der Mittellinie auf Seite c anlegst. Jetzt schiebst du das Geodreieck so lange, bis du Punkt C erreichst. Dann kannst du den Abstand messen.
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