Zweiersystem (Dualsystem)
Zahlen im Zehnersystem
Zahlen, die du bisher kennst, sind Zahlen im Zehnersystem. Dieses Zahlensystem heißt auch dekadisches System oder Dezimalsystem.
Im Zehnersystem gibt es 10 Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9.
Aus den Ziffern schreibst du die Zahlen, wie 3803.
Je nachdem, an welcher Stelle eine Ziffer steht, hat sie einen bestimmten Wert (Stellenwert). Das siehst du gut in der Stellenwerttafel.
| 1000er | 100er | 10er | 1er |
|---|---|---|---|
Rechts stehen die Einer (1). Zehn Einer ergeben einen Zehner (10), zehn Zehner einen Hunderter (100), zehn Hunderter einen Tausender (1000) und so weiter.
3803 setzt sich also so zusammen:
3803 = 3 $$*$$ 1000 + 8 $$*$$ 100 + 0 $$*$$ 10 + 3 $$*$$ 1
Eine Zahl Im Zehnersystem ist eine geordnete Ziffernfolge der zehn Ziffern 0, 1, … , 9. Die Stelle, an der die Ziffer steht, bestimmt den Stellenwert der Ziffer.
- Das Zehnersystem kam vor ungefähr 1000 Jahren aus Indien mit der arabischen Sprache nach Europa.
- Für Zahlen im Zehnersystem kannst du auch „Zehnerzahl“ oder „Dezimalzahl“ sagen.
- Die Reihenfolge der Ziffern ist wichtig. 136 und 316 bestehen aus den gleichen Ziffern 1, 3 und 6, aber es sind unterschiedliche Zahlen.
Computer rechnen anders
Aber es gibt noch andere Rechensysteme. Ein Computer rechnet nicht wie du im Zehnersystem. Wie denn dann??!!!?
Computer kennen nur zwei Elemente: 0 und 1. Aber mit einer Abfolge von Nullen und Einsen kannst du alle Zahlen schreiben! Dieses System heißt Zweiersystem.
Eine Zahl aus dem Zweiersystem ist 10111. Damit du siehst, dass sie aus dem Zweiersystem kommt, kannst du schreiben: (10111)2
Die Stelle, an der die Ziffer 0 oder 1 steht, bestimmt, wie im Zehnersystem, den Wert der Ziffer (Stellenwert).
Die Stellenwerte sind 1 und die Potenzen von 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, … .
Die Zahl 10111 in der Stellenwerttafel im Zweiersystem sieht so aus:
| 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
2, 4, 8 und so sind ja Zehnerzahlen.
Die Zahl 10111 setzt sich also so zusammen:
(10111)2 = 1 $$*$$ 16 + 0 $$*$$ 8 + 1 $$*$$ 4 + 1 $$*$$ 2 + 1 $$*$$ 1 = 23
Dualzahlen bestehen aus den Ziffern 0 und 1. Die Stellenwerte sind von rechts nach links 1, 2, 4, 8, 16 … .
- Zweierzahlen heißen auch Dualzahlen oder Binärzahlen.
- Computer rechnen mit Binärzahlen. Eine Ziffer im Binärsystem wird Bit genannt. Das ist die Abkürzung für Binary Digit (Binärzahl).
- Die 1 steht für „Strom fließt“ und die 0 für „Strom fließt nicht“.
Von der Dualdarstellung zur Zehnerdarstellung
So rechnest du eine Zweierzahl in eine Zehnerzahl um:
- Multipliziere die Ziffer mit dem zugehörigen Stellenwert.
- Addiere alle Produkte aus der Ziffer und dem Stellenwert.
Beispiele
- (110)2 = 0·1+1·2+1·4 = 2+4 = (6)10
- (1011)2 = 1·1+1·2+0·4+1·8 = 1+2+8 = (11)10
- (110101)2 = 1·1+0·2+1·4+0·8+1·16+1·32 = (53)10
Die Zehnerzahl zu einer Dualzahl ist die Summe der Stellenwerte mit der Ziffer 1 in der Dualzahl.
Zehnerzahl oder Zweierzahl? Du kannst bei der Ziffernfolge 101 nicht erkennen, ob sie die Zehnerzahl Einhundertundeins oder eine Zweierzahl ist. Zur Unterscheidung schreibst du: (101)2 oder (101)10.
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Von der Zehnerdarstellung zur Dualdarstellung
So rechnest du eine Zehnerzahl in eine Zweierzahl um:
Bestimme, ob 1, 2, 4, 8, 16, 32 oder andere Vielfache von 2 in der Zehnerzahl enthalten sind.
Beispiel: Zahl im Zehnersystem 27
Größte Vielfache: 16→27 = 1 · 16 + 11 Nächste Vielfache: 8→ 27 = 1 · 16 + 1 · 8 + 3 Nächste Vielfache: 4→27 = 1 · 16 + 1 · 8 + 0 · 4 + 3 Nächste Vielfache: 2→27 = 1 · 16 + 1 · 8 + 0 · 4 + 1 · 2 + 1 · 1
Die Stellenwerttafel:
| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Zahl im Zehnersystem: (27)10 = (11011)2
Addierst du alle Vielfache von 2, die in der Dualzahl enthalten sind, erhältst du die Zehnerzahl.
- Bestimme zuerst das größtmögliche Vielfache.
- Ist das Vielfache enthalten, steht die Ziffer 1 in der Zweierdarstellung.
- Ist das Vielfache nicht enthalten, steht die Ziffer 0 in der Zweierdarstellung.
Zweite Methode
Es gibt noch eine andere Methode, eine Zehnerzahl in eine Zweierzahl umzuwandeln.
Teile die Zehnerzahl durch 2 und schreibe den Rest auf. Wiederhole das mit dem Ergebnis, bis du auf 0 kommst.
Beispiel28 : 2 = 14Rest: 014 : 2 =7Rest: 07 : 2 =3Rest: 13 : 2 =1Rest: 11 : 2 =0Rest: 1
Alle Reste in umgekehrter Reihenfolge sind die Ziffern der Dualdarstellung.
Ergebnis: (28)10 = (11100)2
So kannst du auch eine Zehnerzahl in eine Dualzahl umrechnen: Teile die Zehnerzahl durch 2 und schreibe den Rest auf. Wiederhole das mit dem Ergebnis, bis du auf 0 kommst. Schreibe alle Reste in umgekehrter Reihenfolge und du hast die Dualzahl.
Es geht auch mit einer Zahl in Zehnerdarstellung.Beispiel524 : 10 =52Rest: 452 : 10 = 5Rest: 25 : 10 =0Rest: 5
Addition mit Dualzahlen
Und rechnen mit Dualzahlen? Klar, das geht auch!
Du addierst Dualzahlen wie Dezimalzahlen. Dualzahlen bestehen aber nur aus zwei Ziffern 0 und 1, die du addierst. 0 + 0 = 0 1 + 0 = 10 + 1 = 1 1 + 1 = 10
Bei der letzten Addition entsteht ein Übertrag von 1, der zur nächsten Ziffernaddition hinzu gefügt wird.
Beispiel:
1 1 0 1 0+ 1 0 011 1Summe: 1 0 1 1 0 1
Zahlen im Zweiersystem kannst du schriftlich addieren wie im Zehnersystem mit Übertrag.
Zehnerzahlen kannst du addieren, indem du die Ziffern für die Einer, Zehner, Hunderter u. s. w. addierst. Ist die Summe größer als 9, entsteht ein Übertrag, der zur nächsten Ziffernaddition zugefügt wird.Beispiel3 6 8+ 21 71 4Summe: 6 4 2
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Multiplikation von Dualzahlen
Und so geht das Multiplizieren:
Du multiplizierst Dualzahlen auch ziffernweise wie Dezimalzahlen. 0 · 0 = 01 · 0 = 00 · 1 = 01 · 1 = 1
Der erste Faktor wird mit den Ziffern 0 oder 1 des zweiten Faktors nacheinander multipliziert, dabei entsteht aber entweder 0 oder der erste Faktor.
Beispiel:
1 1 0 1 · 1 0 1 1 1 0 10 0 0 01 1 0 1Produkt:1 0 0 0 0 0 1
Zahlen im Zweiersystem kannst du schriftlich multiplizieren wie im Zehnersystem.
Zehnerzahlen kannst du schriftlich multiplizieren, indem du den ersten Faktor mit den Ziffern des zweiten Faktors einzeln multiplizierst und die Ergebnisse addierst.Beispiel3 6 8 · 2 3 7 3 61 1 0 4Produkt: 8 4 6 4
Computer „rechnen“ im Binärsystem
Kennst du Bits und Bytes?
Alle Daten (Zahlen, Buchstaben, Zeichen) müssen für die Verarbeitung und Speicherung im Computer in eine Folge von Nullen und Einsen „übersetzt“ werden.
Die Größe des Speicherplatzes wird gemessen in Bits und Bytes.
1 bit ist die kleinste Speichereinheit: Ein Bit kann 0 sein oder 1.
1 B (Byte) = 8 bit 1 KB (Kilobyte) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 B = 1024 B 1 MB (Megabyte) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 KB = 1024 KB 1 GB (Gigabyte) = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 MB = 1024 MB
Die Speichergröße von USB-Sticks, Speicherkarten, DVDs oder Festplatten wird in Byte angegeben (meistens in der Größenordnung von Gigabyte GB).
Kilo, Mega und Giga sind sonst Vorsilben für Tausend, Millionen und Milliarden. Beispiel: 1 Kg (Kilogramm) = 1000 g (Gramm)
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