Rechengesetze der Addition
Rechengesetze fürs Addieren
Du kennst schon 2 Rechenregeln, die immer gelten:
- von links nach rechts rechnen
- Klammern zuerst berechnen
Für’s Addieren gibt es zusätzlich 2 besondere Gesetze:
- das Vertauschungsgesetz oder Kommutativgesetz
- das Verbindungsgesetz oder Assoziativgesetz
Diese 2 Rechengesetze können dir beim Rechnen helfen.
Vertauschungsgesetz
Untersuche, was passiert, wenn du die Zahlen in einer Additionsaufgabe umdrehst.
Beispiel:
$$46 + 78 = 124$$
$$78 + 46 = 124$$
Also ergibt $$46 + 78$$ das gleiche wie $$78+46$$.
Das Vertauschungs- oder Kommutativgesetz besagt:
Beim Addieren kannst du die Summanden vertauschen. Das Ergebnis bleibt gleich.
$$83 + 92 = 92 + 83$$
Oder allgemein:
$$a+b=b+a$$
$$a$$ und $$b$$ sind beliebige Zahlen.
Die Fachbegriffe im Überblick:
Summand $$+$$ Summand $$=$$ Summe
Minuend $$–$$ Subtrahend $$=$$ Differenz
Vorsicht bei der Subtraktion
Untersuche das Vertauschen bei der Subtraktion.
Beispiel:
$$100-50+45 = 95$$
$$100-45+50 = 105$$
Also ist $$100-50+45$$ nicht das gleiche wie $$100-45+50$$.
Mathematisch: $$100-50+45 != 100-45+50$$
Beim Subtrahieren kannst du Minuend und Subtrahend nicht vertauschen. Das Vertauschen ergibt unterschiedliche Ergebnisse.
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Kopfrechentrick mit Vertauschungsgesetz
Manchmal kannst du bequemer rechnen, wenn du die Summanden vertauschst.
Guck, ob beim Addieren runde Zahlen rauskommen. Diese Zahlen addierst du zuerst.
Beispiel 1:$$34$$ $$+$$$$87+$$$$56$$
$$=$$$$34$$ $$+$$$$56$$$$+$$$$87$$
└──┬──┘
$$90$$$$+$$$$87$$
$$=$$$$177$$
Wenn du hier zuerst $$34$$ und $$56$$ vertauschst, erleichtert dir das die Rechnung.
Beispiel 2:$$27$$ $$+$$ $$96$$ $$+$$ $$63$$ $$+$$ $$114$$
$$=$$$$27$$ $$+$$ $$63$$ $$+$$ $$96$$ $$+$$ $$114$$
└──┬──┘ └───┬───┘
$$90$$$$+$$ $$210$$
$$=300$$
Das geht nicht bei allen Aufgaben. Aber guck immer zuerst, ob du geschickt rechnen kannst.
Verbindungsgesetz
Das Verbindungsgesetz hat mit Klammern zu tun. Probier mal, was bei einer Additionsaufgabe passiert, wenn du Klammern setzt.
Aufgabe: $$54+23+77$$
1. Möglichkeit: von links nach rechts
$$54+23+77$$
└──┬──┘
$$=$$$$77$$$$+$$$$77$$
$$=$$$$154$$
2. Möglichkeit: Klammern setzen
$$54+(23+77)$$
└──┬──┘
$$=$$$$54+$$$$100$$
$$=$$$$154$$
3. Möglichkeit: Klammern woanders setzen
$$(54+23)+77$$
└──┬──┘
$$=$$$$77$$$$+$$$$77$$
$$=$$$$154$$
Du kannst Klammern setzen oder auch nicht. Es kommt immer $$154$$ raus.
Das Verbindungs- oder Assoziativgesetz besagt:
Beim Addieren kannst du beliebig Klammern setzen oder weglassen. Das Ergebnis bleibt gleich.
$$26 + 73 + 37 = ( 26 + 73) + 37$$
$$26 + 73 + 37 = 26 + ( 73 + 37 )$$
Oder allgemein:
$$a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)$$
$$a$$, $$b$$ und $$c$$ sind beliebige Zahlen.
Es bleibt dir selbst überlassen, wie du schneller, sicherer und besser rechnen kannst.
Vorsicht bei der Subtraktion
Untersuche das Setzen von Klammern bei der Subtraktion.
Beispiel:
$$123-73-27$$
└──┬──┘
$$=$$$$50$$$$-$$$$27$$
$$=$$$$23$$
$$123-(73-27)$$
└──┬──┘
$$=$$$$123-$$$$46$$
$$=$$$$77$$
Also ist $$123-73-27$$ nicht das gleiche wie $$123-(73-27)$$.
Mathematisch: $$123-73-27 != 123-(73-27)$$.
Beim Subtrahieren kannst du nicht beliebig Klammern setzen. Das Setzen von Klammern führt zu unterschiedlichen Ergebnissen.
Noch nicht kapiert?
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Kopfrechentrick mit Verbindungsgesetz
Manchmal kannst du bequemer rechnen, wenn du Klammern setzt oder dir im Kopf denkst.
Guck, bei welchen Summanden runde Zahlen rauskommen. Die addierst du zuerst. Das heißt, du setzt Klammern.
Beispiel 1:
$$34+12+18$$
$$=$$$$34+(12+18)$$
└──┬──┘
$$=$$$$34+$$$$30$$
$$=$$$$64$$
Wenn du hier zuerst $$12$$ und $$18$$ addierst, bekommst du die runde Zahl $$30$$ heraus.
Beispiel 2:
$$52+58+18+123+77$$
$$=$$$$(52+58)+18+(123+77)$$
└──┬──┘└───┬───┘
$$=$$$$110$$$$+$$ $$18$$$$+$$$$200$$
$$=$$$$328$$
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