Teilbarkeitsregeln (3 und 9)

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Teilbarkeitsregeln (3 und 9)

Geheimnisvolle Drei

Tamme sitzt im Unterricht. Er guckt die Uhr an und wartet auf das Klingeln. Es ist 12:45 Uhr. Die Zeit vergeht nicht. (Kommt dir das bekannt vor? :) )

Tamme denkt nach über die Uhr: Komisch - sind alle Zahlen durch drei teilbar auf der Uhr?
3,6, 9 und 12 sind durch 3 teilbar.
Weiter: 15 und 30 sind auch durch 3 teilbar. 45 auch? Das ist schwieriger. 45 ist 30 plus 15. Dann ist 45 auch durch 3 teilbar. Kann man das auch einfacher rauskriegen?

Er überlegt: Weder 4 noch 5 sind durch 3 teilbar. Plötzlich hat er eine Idee, er addiert die Ziffern: $$4+5=9$$

Das geht durch 3. Wow! Heißt das, wenn du die Ziffern addierst, sieht du, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist?

Wenn du die Ziffern einer Zahl addierst, ist das die Quersumme der Zahl.
Beispiel:
Die Quersumme von 126 ist 9, denn $$1+2+6 =9$$.

Teilbarkeitsregeln (3 und 9)

Tamme bekommt Ärger

Der Lehrer denkt, Tamme träumt und ruft: „Jetzt schlägt es aber 13“.
Da antwortet Tamme, völlig vertieft in seine Zahlen:
„$$13 cdot 3 =39$$. 39 ist also durch 3 teilbar. Die Quersumme von 39: $$3+9=12$$. 12 ist durch 3 teilbar, und 39 auch.
Das ist ja toll. Man braucht nur die Ziffern addieren und man weiß sofort, ob eine Zahl durch 3 teilbar ist oder nicht.“

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Der Lehrer ist begeistert, dass Tamme über Zahlen und Mathe nachdenkt!
Er fragt Tamme: „Ist 5931 durch 3 teilbar?“
Tamme rechnet: Die Quersumme von 5931 ist 18, denn: $$5+9+3+1=18$$. 18 ist durch 3 teilbar, also ist 5931 auch durch 3 teilbar.
Tamme rechnet schriftlich nach: 5931 : 3 = 1977, ohne Rest.

Teilbarkeitsregeln (3 und 9)

Wie ist es mit der 6 oder 9?

Nachmittags grübelt Tamme weiter: Funktioniert die Regel auch mit der 6 oder 9?

Tamme sammelt in einer Tabelle:

Zahl	Quer- summe	durch 6 teilbar	durch 9 teilbar
$$18$$	$$1+8=9$$	ja, $$3 cdot 6=18$$	ja, $$2 cdot 9=18$$
$$21$$	$$2+1=3$$	nein	nein
$$24$$	$$2+4=6$$	ja, $$4 cdot 6 =24$$	nein
$$27$$	$$2+7=9$$	nein	ja, $$3 cdot 9=27$$

Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Beispiel: 24 ist durch 6 teilbar, denn 24 ist gerade und die Quersumme beträgt 6. 6 ist durch 3 teilbar.
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiel: 27 ist durch 9 teilbar, denn die Quersumme von 27 ist 9. 9 ist durch 9 teilbar.

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Zahlenrätsel

Tamme ist ziemlich zufrieden mit dem, was er rausgefunden hat. Zum Schluss stellt er sich ein Rätsel: „Kann ich die Zahl 49231 so verändern, dass sie durch 3 und 6 und 9 teilbar ist?“

Also los:
„Die Zahl soll durch 6 teilbar sein, also muss sie gerade und durch 3 teilbar sein. Wenn die Zahl durch 9 teilbar ist, ist sie aber auch durch 3 teilbar.
Das heißt: Ich brauche eine gerade Zahl, deren Quersumme durch 9 teilbar ist.

Die Quersumme von 49231 ist 4+9+2+3+1=19. Ich suche also eine Quersumme in der Nähe von 19, die durch 9 teilbar ist. Das ist 27. Von 19 zu 27 ist die Differenz 8.
Ich muss die Ziffern so ändern, dass als Quersumme 27 rauskommt und die letzte Ziffer muss gerade sein.
Also zum Beispiel: 49248 oder auch 79236. Es gibt viele Möglichkeiten.“

Jede durch 6 oder 9 teilbare Zahl ist auch durch 3 teilbar.

Teilbarkeitsregeln auf einen Blick

Das sind die Teilbarkeitsregeln für 3, 6 und 9.

Teilbarkeit	Regel	Beispiel
durch 3 teilbar	Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.	Die Quersumme von 39 ist 12. Die Quersumme von 12 ist 3. Also ist 39 durch 3 teilbar.
durch 6 teilbar	Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn die Zahl gerade ist (durch 2 teilbar) und ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.	Die Quersumme von 42 ist 6. 6 ist durch 3 teilbar. Die letzte Ziffer von 42 ist gerade. Also ist 42 durch 6 teilbar.
durch 9 teilbar	Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.	Die Quersumme von 108 ist 9. 9 ist durch 9 teilbar. Also ist 108 selbst durch 9 teilbar.