Chancen und Risiken beurteilen
Kein faires Spiel
| Ereignis | 1, 2 oder 3 | 4 oder 5 | 6 |
|---|---|---|---|
| Gewinn / Verlust | + 10 | - 13 | -1 |
| Wahrscheinlichkeit | $$\frac {3}{6}$$ | $$\frac {2}{6}$$ | $$\frac {1}{6}$$ |
Tom und Ida spielen ein Würfelspiel. Fällt eine 1, 2 oder 3, so erhält Tom mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ 10 Punkte. Er verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$ 13 Punkte und mit $$\frac{1}{6}$$ 1 Punkt.
Rechnen wir das für sehr viele Spiele aus, so folgt $$10 * \frac{3}{6} + (-13) * \frac{1}{3} + (-1) * \frac{1}{6} = 0,5$$.
Bei sehr vielen Spielen wird Tom im Durchschnitt 0,5 Punkte gewinnen und entsprechend Ida 0,5 Punkte verlieren.
Ein solches Spiel ist kein faires Spiel.
Ein faires Spiel ist dadurch gekennzeichnet, das Chancen und Risiken für die Spieler gleich verteilt sind.
Ein faires Spiel
| Ereignis | Kopf | Wappen |
|---|---|---|
| Gewinn / Verlust | + 10 | - 10 |
| Wahrscheinlichkeit | $$\frac {1}{2}$$ | $$\frac {1}{2}$$ |
Tom und Ida werfen eine Münze. Fällt Kopf, so erhält Tom mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{1}{2}$$ 10 Punkte.
Er verliert mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\frac{1}{2}$$ 10 Punkte, wenn Wappen fällt.
Berechnest du das für sehr viele Spiele, so folgt $$10 * \frac{1}{2} + (-10) * \frac{1}{2} = 0$$.
Bei sehr vielen Spielen wird Tom im Durchschnitt 0 Punkte verlieren und entsprechend Ida 0 Punkte gewinnen.
Das Spiel nennen wir fair: Chancen und Risiken sind gleich verteilt.
Ein Glücksspiel wird dann als fair bezeichnet, wenn Gewinn und Verlust auf lange Sicht sich ausgleichen. Der insgesamt zu erwartende Gewinn beträgt dann null.
Würfelwurf
Bei einem Würfelspiel mit zwei Würfeln wird ein Gewinnspiel angeboten, dessen Bedingungen die Tabelle zeigt:
| Ereignis | Summe $$ge$$ 8 | Summe $$<$$ 8 |
|---|---|---|
| Gewinn / Verlust | 1 € | - 2 € |
| Wahrscheinlichkeit | $$\frac {15}{36}$$ | $$\frac {21}{36}$$ |
Berechnest du bei diesem Spiele Gewinn und Verlust nach dem gleichen Muster, so folgt $$1 * \frac{15}{36} + (-2) * \frac{21}{36} = -0,75$$.
Bei sehr vielen Spielen verliert ein Spieler auf lange Sicht pro Spiel 0,75 €. Es ist somit kein faires Spiel.
Um ein faires Spiel zu erhalten, nimmst du an, der Gewinn beträgt x € und berechnest diesen Wert. Auf der rechten Seite der entstehenden Gleichung muss für ein faires Spiel eine 0 stehen:
$$x * \frac{15}{36} + (-2) * \frac{21}{36} = 0 hArr 15x - 42 = 0 hArr x = 2,80$$
Für ein faires Spiel muss der Gewinn für den Spieler 2,80 € betragen.
Bei Glücksspielen kann der erwartete Gewinn pro Spiel berechnet werden: Die Gewinne der einzelnen möglichen Spielergebnisse werden mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert und die Produkte addiert.
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Würfelwurf mit einem Tetraeder
Mit dem abgebildeten Tetraeder hat Ida 50-mal gewürfelt und sich die Ergebnisse in der folgenden Tabelle notiert.
| Zahl | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Gewinn in € | -10 | 1 | 2 | 3 |
| abs. Häufigkeit | 11 | 16 | 14 | 9 |
Mit Hilfe der absoluten Häufigkeit und der Gesamtzahl der Würfe kann die Wahrscheinlichkeit für die Gewinne berechnet werden. Tom hat die Tabelle gefunden und den Gewinn von Ida berechnet.
| p(Gewinn) | $$\frac{11}{50}$$ | $$\frac{16}{50}$$ | $$\frac{14}{50}$$ | $$\frac{9}{50}$$ |
|---|---|---|---|---|
| Gewinn $$*$$p(Gewinn) | $$(-10)* \frac{11}{50}$$ | $$1*\frac{16}{50}$$ | $$2 * \frac{14}{50}$$ | $$3 *\frac{9}{50}$$ |
Tom rechnet:
$$(-10) * \frac{11}{50} + 1*\frac{16}{50} + 2 * \frac{14}{50} + 3 *\frac{9}{50}= -\frac{39}{50} = -0,78$$
Das Spiel ist nicht fair. Ida verliert auf lange Sicht pro Spiel 0,78 Euro. Ida denkt an die vielen verlorenen Bonbons…:-)
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