Würfelwurf

Das Resultat eines Würfelwurfs kann nicht mit Sicherheit vorausgesagt werden. Daher stellt der Würfelwurf ein Zufallsexperiment dar.
Das Resultat eines Zufallsexperiments wird als Ergebnis bezeichnet.
Mögliche Ergebnisse sind die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5 und 6.
Die Menge der möglichen Ergebnisse eines Zufallsversuchs bildet die Ergebnismenge $$Omega$$.
Für den Würfelwurf gilt: $$Omega$$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Eine Teilmenge von S nennt man Ereignis E.
So gilt für den Würfelwurf das Ereignis „ungerade Zahl“
E = {1, 3, 5}.

In Worten:
Das Ereignis „ungerade Zahl“ tritt genau dann ein, wenn als Ergebnis eines Würfelwurfs eine der Zahlen 1, 3 oder 5 geworfen wird.

Würfelwurf - Fortsetzung 1

Eine Prognose soll bei Zufallsexperimenten helfen, sich auf unerwartete Ausgänge einzustellen.
So wird oft die relative Häufigkeit
h = H : N, also der Anteil der absoluten Häufigkeit H an einer Gesamtzahl N von Versuchen, ermittelt.
Fällt z.B. bei 50-maligem Werfen
( N = 50 ) eines Würfels die 6 8-mal
( H = 8 ), dann ist h = 8 : 50 = 0,16 = 16 %.
Wird die Anzahl der Versuche vergrößert, so ändert sich die relative Häufigkeit nur noch wenig. Dies wird als Gesetz der großen Zahl bezeichnet. Diese Überlegung begründet die Wahl der Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses für die bestmögliche Prognose für eine relative Häufigkeit.

Würfelwurf - Fortsetzung 2

Bei dem Würfelwurf sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich. Keine Zahl ist bei einem fairen Würfel besonders ausgezeichnet. Solche Zufallsexperimente heißen Laplace-Experimente.

Beispiel:

Es wird gewürfelt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird eine 6 gewürfelt?

Lösung:

Für das Ereignis E = {6} ist nur eine Zahl der sechs möglichen günstig. Daher gilt: $$ p(E) = \frac {1} {6} approx 0,167 = 16,7 %$$. Damit ist in etwa 16,7 % mit einer 6 zu rechnen. .

Summenregel

Zufallsexperiment Glücksrad

Das Glücksrad wird gedreht. Bleibt es bei einer geraden Zahl stehen, hat der Spieler gewonnen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn?
Für das Ereignis E: „gerade Zahl“ gilt E = { 2, 4, 6, 8, 10 }. Damit sind fünf der zehn möglichen Ergebnisse günstig.
Damit folgt mit der Laplace-Wahrscheinlichkeit: $$ p(E) = \frac {5} {10} = 0,5 = 50 %$$.
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt 50%.

Diese Wahrscheinlichkeit lässt sich auch auf einem anderen Weg berechnen:
Jede einzelne gerade Zahl führt zu einem Gewinn. Die Wahrscheinlichkeit, dass das Glücksrad bei einer beliebigen Zahl stehen bleibt, beträgt 1/10.
Die Wahrscheinlichkeit, dass es bei fünf geraden Zahlen stehen bleibt, ist: $$ \frac {1} {10} + \frac {1} {10} +\frac {1} {10} +\frac {1} {10} +\frac {1} {10} = \frac {5} {10} = 0,5 = 50 %$$.
Du berechnest die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, indem du die Wahrscheinlichkeiten der günstigen Ergebnisse addierst.

Beispiel 1 zur Summenregel

Jahrmarkt mit Losbude

Carla geht auf dem Jahrmarkt an einer Losbude vorbei und möchte ein Los kaufen. Sie erfährt, dass die Lostrommel 20 Hauptpreise und 60 Trostpreise und 120 Nieten enthält. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Carla einen Preis zieht. Benutze die Summenregel.

Lösung:

1. Schritt: Liegt ein Laplace-Experiment vor?
Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. Es liegt ein Laplace-Experiment vor. Du kannst die Formel der Laplace-Wahrscheinlichkeit benutzen:

$$ p(E) = \frac {\text{Anzahl der für E günstigen Ergebnisse}} {\text {Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} $$
2. Schritt:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: „Hauptpreis“:
Für E sind 20 der möglichen 200 Lose günstig: $$ p(E) = \frac {20} {200} $$
3. Schritt:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis F: „Trostpreis“:
Für F sind 60 der möglichen 200 Lose günstig: $$ p(F) = \frac {60} {200} $$
4. Schritt:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit der Summenregel:
Für das Ereignis G: „Preis“ ist p(G) = p(E) + p(F) zu berechnen:
$$ p(G) = p(E) + p(F) = \frac {20} {200} + \frac {60} {200} = \frac {80} {200} = 0,4 = 40 %$$
Carla zieht mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % einen Preis.

Beispiel 2 zur Summenregel

Obstkiste

Tom steht vor einer Obstkiste, die 40 Äpfel, 80 Orangen und 30 Mandarinen enthält. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Tom ohne hinzusehen, eine Südfrucht, also eine Orange oder eine Mandarine entnimmt. Benutze die Summenregel.

Lösung:

1. Schritt: Liegt ein Laplace-Experiment vor?
Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. Es liegt ein Laplace-Experiment vor. Du kannst die Formel der Laplace-Wahrscheinlichkeit benutzen:

$$ p(E) = \frac {\text{Anzahl der für E günstigen Ergebnisse}} {\text {Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} $$
2. Schritt:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E: „Orange“:
Für E sind 80 der möglichen 150 Früchte günstig: $$ p(E) = \frac {80} {150} $$
3. Schritt:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis F: „Mandarine“:
Für F sind 30 der möglichen 150 Früchte günstig: $$ p(F) = \frac {30} {150} $$
4. Schritt:
Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit der Summenregel:
Für das Ereignis G: „Südfrüchte“ ist p(G) = p(E) + p(F) zu berechnen:
$$ p(G) = p(E) + p(F) = \frac {80} {150} + \frac {30} {150} = \frac {110} {150} approx 0,733 = 73,3 %$$
Tom entnimmt mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 73,3 % eine Südfrucht.