Wahrscheinlichkeiten bestimmen bei Nicht-Laplace-Experimenten
Reißzweckenwurf
Es gibt Zufallsexperimente, deren Ausgängenicht gleich wahrscheinlich sind. Nimm eine Reißzwecke und wirf sie auf den Boden. Wie du auf der Abbildung siehst, kann sie in zwei Positionen liegen bleiben. Diese Positionen heißen meistens Kopf und Seite.
Tom führt den Reißzweckenwurf sehr oft durch und trägt seine Ergebnisse in eine Tabelle ein.
| Ereignis | Kopf | Seite |
|---|---|---|
| absolute Häufigkeit | 80 | 120 |
| relative Häufigkeit | 80 : 200 = 0,4 | 120 : 200 = 0,6 |
| Wahrscheinlichkeit | 40 % | 60 % |
Tom nimmt an, dass die relative Häufigkeit für das Zufallsexperiment eine gute Prognose für die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse „Kopf“ und „Seite“ ist.
Aus der Tabelle folgt, dass die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind. Solche Zufallsexperimente heißen Nicht-Laplace-Experimente.
Laplace-Experimente
Zufallsexperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, werden Laplace-Experimente genannt.
Reißzweckenwurf - Fortsetzung
Die im Zufallsexperiment ermittelten Wahrscheinlichkeiten
p(E:„Kopf“) = 0,4 =40 % und p(F:„Seite“) = 0,6 = 60 % gelten nicht für alle Reißzwecken. Oft unterscheiden sich diese hinsichtlich ihrer Bauart. Daher kann die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Reißzwecke nur über sehr viele Würfe abgeschätzt werden.
Für Nicht-Laplace-Experimente gilt folgende Aussage:
Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses entspricht ungefähr der relativen Häufigkeit dieses Ereignisses bei einer großen Zahl von Versuchen.
Trotz dieser Unbestimmtheit gelten auch für Nicht-Laplace-Experimente bestimmte Gesetze.
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments ist 1 (Summensatz).
Sind die Ereignisse $$E$$ und $$bar E$$ eines Zufallsexperiments Gegenereignisse, so gilt p($$bar E$$) = 1 - p($$E$$) und p($$E$$) = 1 - p($$bar E$$).
Beipiel: Reißzweckenwurf
Es gilt p(E:„Kopf“) + p(F:„Seite“) = 0,4 + 0,6 = 1.
p(F:„Seite“) ist das Gegenereignis zu p(E:„Kopf“), daher gilt z.B.
p(E:„Kopf“) = 1 - p(F:„Seite“) = 1 - 0,6 = 0,4
Der Lego-Achter
Du kennst sicher Legosteine. Mit solchen Steinen kannst du auch Zufallsexperimente durchführen. In der Tabelle sind die Ergebnisse zahlreicher Wurfexperimente für den Lego-Achter dargestellt.
Das Wurfexperiment mit dem Lego-Achter ist ein Nicht-Laplace-Experiment. Du erkennst das daran, dass die Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich sind.
Du kannst aber mit den Wahrscheinlichkeiten arbeiten:
p(E:„ungerade Zahl“) = 0,1 + 0,47 + 0,005 = 0,575 = 57,5 %
p(F:„gerade Zahl“) = 0,005 + 0,32 + 0,1 = 0,425 = 42,5 %
p(E) + p(F) = 0,575 + 0,425 = 1 = 100 %
p(G:„5 oder 6“) = 0,005 + 0,1 = 0,105 = 10,5 %.
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Umfragen
Umfragen in der Bevölkerung können als Zufallsexperimente aufgefasst werden. Dabei handelt es sich auch um Nicht-Laplace-Experimente.
Bei einer Befragung zum Bau eines neuen Flughafens in A-Stadt haben sich die befragten Personen so entschieden, wie es in der Abbildung dargestellt ist (A: Zustimmung, B: Ablehnung, C: keine Meinung, D : sonstiges).
| Meinung | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| Winkel | 90° | 180° | 45 ° | 45° |
| rel. Häuf. | 0,25 | 0,50 | 0,125 | 0,125 |
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte befragte Person „Zustimmung“ äußerte?
Antwort: Die Wahrscheinlichkeit beträgt 25 %.
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig befragte Person „weder Zustimmung noch Ablehnung“ äußerte?
Antwort: Es wird mit Hilfe der Gegenwahrscheinlichkeit berechnet:
p(„weder A noch B“) = 1 - [p(A) + p(B)] = 1 - [25% + 50%] = 1 - 75 % = 25 %.
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