Der Zusammenhang von relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Freundschaft durch den Zusammenhang zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit gerettet
Paparim und Jonas spielen oft Mensch ärger Dich nicht zusammen.
Paparim misstraut Jonas. Er hat irgendwie häufiger eine 6. Deshalb gewinnt Jonas öfter.
Paparim nimmt sich den Würfel mit nach Hause und nimmt sich vor, 100-mal zu würfeln.
Nach 100-maligem Würfeln hat er folgendes Ergebnis:
| gewürfelte Augenzahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Anzahl | 10 | 15 | 17 | 16 | 16 | 26 |
Tatsächlich erscheint die 6 als Ergebnis öfter. Sie erscheint 26-mal oder auf das 100-malige Würfeln gerechnet mit einer relativen Häufigkeit von 26 %.
Unter der relativen Häufigkeit eines Ergebnisses versteht man die Anzahl des Ergebnisses geteilt durch die Anzahl aller Versuche: $$text{relative Häufigkeit} = frac {text{Ergebnisanzahl}} {text{Versuchsanzahl}} $$
Bild: Druwe & Polastri
Was vorwärts geht, geht auch rückwärts oder Sicherheit mit Mathematik
Paparim ist sehr schlecht gelaunt. Sollte ihn sein Freund so sehr ausgetrickst haben…
Paparim konfrontiert am nächsten Tag Jonas mit seinem Ergebnis. Jonas meint, es war Zufall, dass die 6 nun 26-mal kam. Also würfelt er noch einmal, aber jetzt 10.000-mal. Am Ende stellen Jonas und Paparim fest:
| Augen- zahl | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Wurf- anzahl | 1666 | 1665 | 1665 | 1667 | 1667 | 1670 |
Tatsächlich wurde die 6 immer noch häufiger geworfen. Aber ihre relative Häufigkeit beträgt nur noch 16,7 %. Scheinbar ist der Würfel doch fair. Jede Ziffer kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 16,7% vor. Die relative Häufigkeit dieses Experiments nähert sich immer dichter der Wahrscheinlichkeit an.
Die relative Häufigkeit eines Ergebnisses nähert sich bei häufiger Versuchsdurchführung der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses an.
Bild: fotolia.com (p!xel 66)
Was vorwärts geht, geht auch rückwärts oder Sicherheit mit Mathematik
Die Wahrscheinlichkeit, in Deutschland von einem Blitz getroffen zu werden, liegt bei $$ frac 1 {6.000.000} $$.
Was bedeutet dies nun für die relative Häufigkeit? Die relative Häufigkeit ist genauso groß wie die Wahrscheinlichkeit.
In absoluten Zahlen bedeutet dies für Deutschland:
Von 81.000.000 Deutschen werden jährlich etwa
$$ 81.000.000 cdot 1/(6.000.000) = 13,5 $$
Menschen vom Blitz getroffen.
Die Wahrscheinlichkeit entspricht bei häufiger Durchführung eines Zufallsexperimentes der relativen Häufigkeit. Durch Multiplizieren der relativen Häufigkeit mit der Anzahl der Versuche erhält man eine erwartete absolute Häufigkeit. Dieser Wert wird mathematisch Erwartungswert genannt.
Bild: iStockphoto.com/mdesigner125
Mit Mathematik sicher ins Kino, der Wahrscheinlichkeit sei dank.
Louisa und Fabienne haben einen Beutel voll gelber und roter Murmeln. Insgesamt sind 10 Kugeln im Beutel. Sie wollen Peter ein wenig ärgern, da Peter Louisa so sehr mag. Sie geben ihm folgendes Rätsel:
Fabienne sagt zu Peter: „Wenn du herausbekommst, wie viele Kugeln gelb, rot und blau sind, lädt dich Louisa ins Kino ein. Du darfst 100-mal jeweils eine Kugel ziehen und diese wieder zurückpacken. Zehn Kugeln sind insgesamt drin.“ Peter freut sich. Er zieht und erhält folgendes Ergebnis:
| gelbe Murmeln | rote Murmeln | blaue Murmeln |
|---|---|---|
| 19 | 81 | 0 |
Also sagt Peter sicher: Es sind nur 2 gelbe und 8 rote Kugeln in dem Beutel. Der Kinoabend war sehr schön.:-)
Noch ein bisschen Mathematik:
relative Häufigkeit gelbe Murmeln: $$19/100$$
Wahrscheinlichkeit gelbe Murmeln: $$0,2$$
relative Häufigkeit rote Murmeln: $$81/100$$
Wahrscheinlichkeit rote Murmeln: $$0,8$$
Kennt man die Gesamtzahl an Kugeln, so gibt die relative Häufigkeit multipliziert mit der Gesamtzahl die ungefähre Anzahl an Kugeln an.
$$19/100 * 10 = 19/10 approx 2$$ gelbe Kugeln
Ebenso funktioniert dies mit der Wahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit multipliziert mit der Gesamtzahl ergibt die Anzahl der Kugeln.
$$0,2*10=2$$ gelbe Kugeln
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