Definitionsbereich und Wertebereich von Funktionen bestimmen
Definitionsbereich von Termen
Der Definitionsbereich D eines Terms gibt an, welche Zahlen du für die Variablen einsetzen darfst.
In den meisten Fällen kannst du alle Zahlen aus ℚ einsetzen. Das sind alle Zahlen die du bis jetzt kennst. Also positive und negative Brüche. Es gibt aber auch Fälle, in denen du den Definitionsbereich einschränken musst.
Beispiel 1:
Bei dem Term 2+y kannst du alle möglichen Zahlen, also alle rationalen Zahlen, einsetzen.
Mathematiker schreiben diese Aussage so auf: D=ℚ
Dies sprichst du so aus: Der Definitionsbereich besteht aus allen rationalen Zahlen.
Beispiel 2:
Bei dem Term 30x steht x im Nenner. Du kennst bereits die Regel, dass man durch 0 nicht teilen darf. Deshalb darfst du für x alle Zahlen aus ℚ einsetzen, außer 0.
Mathematiker schreiben diese Aussage so auf: D=ℚ \ {0}.
Die geschweiften Klammern werden dazu benutzt, um eine Menge von Zahlen anzugeben. Hier besteht die Menge nur aus der Zahl 0.
Eine andere Schreibweise ist: D={x∈ℚ∣x≠0}.
Das spricht man so aus: Der Definitionsbereich besteht aus allen x aus den rationalen Zahlen für die gilt, dass x ungleich 0 ist.
Der Definitionsbereich ist die Menge aller möglichen Ausgangsgrößen.
Manchmal wird der Definitionsbereich auch als Definitionsmenge bezeichnet.
Definitionsbereich von Termen
Beispiel 3:
Bei dem Term 2v-2 steht v-2 im Nenner. Du kennst bereits die Regel, dass man durch 0 nicht teilen darf.
Deshalb untersuchst du, wann der Term v-2 Null wird: v-2=0 ∣+2
v=2
Das heißt, der Term v-2 wird für v=2 Null.
Deshalb darfst du für x alle Zahlen aus ℚ einsetzen, außer 2.
Mathematiker schreiben diese Aussage so auf:
D=ℚ \ {2} oder D={v∈ℚ∣v≠2}.
Die Division durch Null ist nicht erlaubt. Steht eine Variable im Nenner, schränkst du den Definitionsbereich ein. Dazu überprüfst du, wann der Nenner 0 wird.
Später lernst du noch weitere Fälle kennen, bei denen du den Definitionsbereich einschränken musst.
Wertebereich von Termen
Der Wertebereich W eines Terms gibt an, welche Zahlen du als Ergebnis erhalten kannst, wenn du verschiedene Werte für x einsetzt.
In den meisten Fällen erhältst du alle Zahlen aus ℚ als Ergebnis. Es gibt aber auch Fälle, in denen du den Wertebereich einschränken musst.
Beispiel 1:
Für die Variable a kannst du in den Term 3-a jeden Wert aus ℚ einsetzen. Der Definitionsbereich ist also ganz ℚ.
Du bekommst als Ergebnis alle Zahlen aus ℚ heraus.
Mathematiker schreiben dies so auf:
W=ℚ.
Dies sprichst du so aus: Der Wertebereich sind die rationalen Zahlen.
Beispiel 2:
Der Term x2 ist ein quadratischer Term. Du kannst für x jeden Wert aus ℚ einsetzen und bekommst immer eine positive Zahl heraus. Setzt du zum Beispiel 2 oder-2 ein, erhältst du für beide Zahlen als Ergebnis 4.
22=4
(-2)2=4
Mathematiker schreiben dies so auf:
W={x∈ℚ∣x≥0}.
Das sprichst du so aus: Der Wertebereich besteht aus allen x aus den rationalen Zahlen für die gilt, dass x größer oder gleich 0 ist.
Bei quadratischen Termen ist der Wertebereich immer positiv.
Der Wertebereich ist die Menge aller möglichen Ergebnisse.
Manchmal wird der Wertebereich auch als Wertemenge bezeichnet.
Noch nicht kapiert?
kapiert.dekann mehr:
- interaktive Übungen
und Tests - individueller Klassenarbeitstrainer
- Lernmanager
Der Definitions- und Wertebereich von Funktionen
Den Definitionsbereich und den Wertebereich von Funktionen bestimmst du genauso wie den von Termen.
Beispiel 1:
Bestimme den Definitions- und Wertebereich der Funktion f(x)=2x.
Definitionsbereich:
Die Variable x steht nicht im Nenner, also ist der Definitionsbereich ganz ℚ.
D=ℚ
Wertebereich:
Du siehst am Graphen, dass dieser alle y-Werte annimmt. Das heißt, du erhältst als Ergebnis alle Zahlen aus ℚ. Der Wertebereich ist also ganz ℚ.
W=ℚ
Beachte: Der Graph geht links und rechts noch weiter.
Der Definitions- und Wertebereich von Funktionen
Beispiel 2:
Bestimme den Definitions- und Wertebereich der Funktion f(x)=3x2.
Die Variable x steht nicht im Nenner, also ist der Definitionsbereich ganz ℚ.
D=ℚ
Wertebereich:
Du siehst am Graphen, dass dieser nicht alle y-Werte annehmen kann. Die negativen rationalen Zahlen werden nicht als Funktionswerte angenommen. Das heißt, du erhältst als Ergebnis nur positive Zahlen aus ℚ.
W={y∈ℚ∣y≥0}
Beachte: Der Graph geht nach oben noch weiter.
kapiert.de passt zu deinem Schulbuch!
Buchreihen Mathematik mein Schulbuch suchen
