Entdeckungen am Steigungsdreieck

Das geht noch alles mit dem Steigungsdreieck:

Wenn `m` gar nicht gleich erkennbar ist

Rechnerische Lösung

Das Ergebnis kannst du durch Rechnung bestätigen: Aus den Koordinaten zweier Punkte `P_1(x_1|y_1)` und `P_2(x_2|y_2)` kann man den zugehörigen linearen Funktionsterm berechnen:

1. Die Steigung ist `m=(y_2-y_1)/(x_2-x_1)={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}`

also `m=(135-55)/(10-2)=80/8=10`.

2. Den Achsenabschnitt berechnest du mit einem der beiden Punkte:

`f(x)=10x+b` und `f(2)=55`, also
`10*2+b=55`
`20+b=55`   `|-20`
`b=35`

Also ergibt sich auch rechnerisch `y=f(x)=10x+35`.

Das Steigungsdreieck kann man verschieben

Gegeben sind die beiden Punkte `A(-2|5)` und `B(3|2,5)`.

Die Steigung `m` ist die gleichbleibende Änderungsrate.

Nimmt `x` um `1` zu, ändert sich `y` um den Wert der Steigung `m`.

Das Steigungsdreieck wiederholt sich an einer beliebigen Stelle der Geraden.

Das Steigungsdreieck kann man vergrößern!

Ändert sich `x` nicht um `1`, sondern um einen größeren Wert, muss `y` sich entsprechend um ein Vielfaches von `m` ändern.

`x` wächst von `-2` bis `3`, also um `5`, `y` muss sich also auch um das 5-fache von `m` ändern, hier also um `- 2,5`.

Aus den fünf kleinen Steigungsdreiecken kannst du auch ein großes Steigungsdreieck machen, das die beiden gegebenen Punkte als Eckpunkte enthält.

Die `x`-Seite geht dann von `-2` bis `3` nach rechts, die `y`-Seite von `5` bis `2,5` nach unten. Die gleichmäßige Änderungsrate `m` ergibt sich dann als Bruch

`m=(2,5-5)/(3-(-2))=-2,5/5=-1/2`.

Man kann das Steigungsdreieck beliebig vergrößern, verkleinern oder verschieben.
Wenn man zwei Geradenpunkte hat, kann man vom ersten in `x`-Richtung nach rechts gehen, bis man in `y`-Richtung zum zweiten Geradenpunkt gelangt.

Die Änderungsrate `m` kann man dann berechnen:

`m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}`

Wenn `m` gar nicht gleich erkennbar ist

Eine Wasseruhr zeigt Ende Februar einen Verbrauch von 55 m³ an, Ende Oktober sind es 135 m³.

Zeichne den Graphen und ermittle seine Funktionsgleichung.

Zeichnerische Lösung

Du zeichnest einfach das Steigungsdreieck mit den beiden gegebenen Punkten – du darfst es ja beliebig verschieben und vergrößern.
Jetzt liest du einfach Breite und Höhe des Steigungsdreiecks ab und erhältst `m=80/8=10`.

Auch den Achsenabschnitt kannst du ablesen und erhältst `y=f(x)=10x+35`.