Schnittpunkte mit den Achsen

Bei linearen Funktionen ist der Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der $$x$$-Achse und der $$y$$-Achse interessant.

Beispiel 1:

Ein Taxiunternehmen berechnet für die Anfahrt 3,00 € und für jeden gefahrenen Kilometer 1,50 €.

Den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse erkennst du sofort:
Er liegt bei +3.

Du kannst weitere Werte ablesen:
Für 6 km liegt der Fahrpreis bei 12,00 €.

Schnittpunkte mit den Achsen

Beispiel 2:

Ein Flugzeug in Höhe von 4500 m befindet sich auf dem Landeanflug.
Es verliert 500 m Höhe pro Minute.

Der Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse liegt bei +4500.

Der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse liegt bei 9.
Das Flugzeug hat nach 9 Minuten den Erdboden erreicht.

Du kannst auch weitere Werte ablesen:
Nach 3 Minuten ist die Höhe 3000 m.

Ablesen im Koordinatensystem

Beispiel 3:

$$f(x)=1/2x+1$$

Die Gerade schneidet die $$y$$-Achse bei +1. Das ist der $$y$$-Achsenabschnitt.

Der Schnittpunkt lautet $$P_1 = ( 0|1 )$$.

Die Gerade schneidet die $$x$$-Achse bei -2. Das ist die Nullstelle.

Der Schnittpunkt lautet $$P_2 = ( -2|0 )$$.

Schnittpunkte mit der $$y$$-Achse berechnen

Das Ablesen der Schnittpunkte im Koordinatensystem kann ungenau sein.

Den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse kannst du mit der Funktionsgleichung bestimmen ($$y$$-Achsenabschnitt).

Für $$x = 0$$ gilt $$f(0) = m*0 + b$$

$$f(0) = b$$

und somit ist der Punkt $$P_y = ( 0|n )$$ der Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse.

Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse ablesen

Den Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse kannst du nicht an der Funktionsgleichung ablesen. Er wird berechnet.

Beispiel 4:

$$f(x)=1/2*x+1$$

Für den Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse muss $$y = 0$$ sein.

Also: $$f(x)=0$$

$$0=1/2*x+1$$   $$|*2$$

$$0=x+2$$   $$|-2$$

$$-2=x$$ oder $$x=-2$$

Probe:

$$f(x)=1/2*(-2)+1$$

$$f(x)=-1+1$$

$$f(x)=0$$

Was bedeutet der $$y$$-Achsenschnittpunkt?

Schaut man sich das Beispiel mit dem Taxi noch einmal an, so erkennt man, dass der $$y$$-Achsenabschnitt einen Anfangswert darstellt.

Das ist eigentlich nur ein Ausschnitt des Koordinatensystems. Denn eine Gerade ist ja unendlich lang.

Aber als Fahrgast kann man ja keine negative Anzahl von Kilometern fahren und auch keinen negativen Geldbetrag zahlen.

Alle anderen Eigenschaften der linearen Funktion bleiben hingegen erhalten:

• Graph verläuft zu keiner der beiden Achsen parallel
• $$y$$-Achsenabschnitt +3 (abgelesen)
• Nullstelle -2 (abgelesen)

Berechnen der Schnittpunkte

Stelle für das Berechnen der Schnittpunkte die Geradengleichung auf.

Aus der allgemeinen Form $$f(x) = mx + b$$ ergibt sich $$b = 3$$ als $$y$$-Achsenabschnitt ($$x = 0$$).

Da für jeden gefahrenen Kilometer 1,50 € zu entrichten sind, ist $$m = 1,5$$.

Also: $$f(x) = 1,5x + 3$$

Aus $$f(x)=0$$ folgt:

$$0 = 1,5x + 3$$   $$ǀ -3$$

$$-3 = 1,5x$$   $$ǀ :1,5$$

$$-2 = x$$ oder $$x = -2$$

Was bedeutet der $$y$$-Achsenabschnitt?

Das Beispiel mit dem Flugzeug hat durch Ablesen je einen Schnittpunkt zur $$x$$-Achse und $$y$$-Achse ergeben.

Für die Zeit 0 Minuten, erhält man eine Höhe von 4500 m ($$y$$-Achsenabschnitt) und für die Zeit 9 Minuten eine Höhe von 0 m (Nullstelle).

Auch diese Funktion kannst du in allen 4 Quadranten zeichnen:

Deutung des Funktionsgraphen

4 Minuten vor dem Landeanflug hätte sich das Flugzeug bei gleichbleibendem Sinkflug in einer Höhe von 6500 m befunden, was durchaus denkbar wäre.
Aber nach 12 Minuten kann sich das Flugzeug ja nicht in einer Tiefe von 1500 m befinden.

Berechnung der Schnittpunkte

Der $$y$$-Achsenabschnitt ist mit der Anfangshöhe von 4500 m leicht zu bestimmen ($$b = 4500$$).

Da die Höhe um 500 m abnimmt, ist $$m = -500$$. Die Funktionsgleichung lautet $$f(x) = -500x + 4500$$.

$$0 = -500x + 4500$$   $$ǀ -4500$$

$$-4500 = -500x$$   $$ǀ :(-500)$$

$$9 = x$$ oder $$x = 9$$