Zwei Geraden

Aus der Geometrie weißt du, dass zwei Geraden entweder parallel zueinander sind oder sich schneiden.
Bei zwei linearen Funktionen ist das auch so.

Wie du erkennen kannst, verlaufen die blaue und die rote Gerade parallel. Das heißt, sie haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Die grüne Gerade hingegen schneidet die beiden anderen Geraden in genau einem Punkt. Das heißt, sie haben genau einen Schnittpunkt.

1. Fall: Parallele Geraden

Im Koordinatensystem siehst du die Funktionen $$f$$ und $$g$$ mit

$$f(x) = 1/2x + 1$$ und $$g(x) = 1/2x - 2$$

So bestimmst du rechnerisch, ob 2 Geraden parallel sind.

Gleichsetzen:

$$f(x)$$ $$=$$ $$g(x)$$

$$1/2x + 1 =1/2x-2$$   $$ |- 1/2 x$$

$$1 = -2$$ → Widerspruch!

Die Gleichung ergab einen Widerspruch. Also kann es bei den Geraden keinen Schnittpunkt geben.

Betrachtest du die beiden Geradengleichungen, so fällt dir auf, dass sie dieselbe Steigung besitzen.

2. Fall: Geraden schneiden sich

Im Koordinatensystem siehst du die Funktionen $$f$$ und $$g$$ mit

$$f(x)=2x+3$$ und $$g(x)=-1/2x-2$$.

Gleichsetzen:

$$f(x)$$ $$ =$$ $$g(x)$$

$$2x+3=-1/2x-2$$   $$|+1/2x$$

$$2$$$$1/2x+3=-2$$   $$|-3$$

$$2$$$$1/2x=-5$$   $$|:2$$$$1/2$$

$$x=-2$$

Den dazugehörigen $$y$$-Wert erhältst du, indem du den berechneten $$x$$-Wert in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt:

$$f(x)=2x+3$$

$$f(-2)=y=2*(-2)+3$$

$$y=-1$$

Der gemeinsame Schnittpunkt der beiden Geraden $$f$$ und $$g$$ lautet somit $$S (-2|-1 )$$.

Sonderfall: Senkrechte Geraden

Im Koordinatensystem siehst du diese Geraden $$f$$ und $$g$$ mit

$$f(x) = 2x + 3$$ und $$g(x) = -1/2x - 2$$.

Fällt dir an den Steigungen von $$f$$ und $$g$$ etwas auf?
Es gibt einen Zusammenhang!
$$-1/2$$ ist der Kehrwert von $$2$$.
Oder anders: $$-1/2*2=-1$$.

Aufgabe zu senkrechten Geraden

Gegeben sei die Funktion $$f(x) = -2x – 2$$.

Gesucht ist die Funktion $$g(x)$$, deren Graph $$f(x)$$ im Punkt $$P(-1|0)$$ senkrecht schneidet.

$$m_1 = -2$$ sei die Steigung der Funktion $$f(x)$$, $$m_2$$ die von $$g(x)$$.

Du suchst eine Geradengleichung von $$g$$. Die hat die Form $$g(x)=mx+b$$. Du brauchst also $$m$$ und $$b$$.

Aus der Bedingung für orthogonale Geraden $$(m_1 * m_2 = -1)$$ ergibt sich

$$-2 * m_2 = -1$$   $$|:(-2)$$

$$m_2=1/2$$

Also gilt: $$g(x)=1/2x+b$$

Du weißt, dass $$P$$ auf $$g$$ liegt. Setze $$P$$ in $$g$$ ein:

$$0=1/2*(-1)+b$$

$$0=-1/2+b$$   $$|+1/2$$

$$b=1/2$$

Somit lautet die Funktionsgleichung $$g(x) = 1/2x+1/2$$.

Eine Geradenschar

Im Koordinatensystem siehst du die Geraden

$$f(x) = 2x + 2$$

$$g(x) = -3x + 2$$

$$h(x) = -1/2x+2$$

$$k(x) = -x + 2$$

In den Funktionsgleichungen siehst du, dass alle denselben
$$y$$- Achsenabschnitt $$b=2$$ haben.

Alle Geraden schneiden sich im Punkt $$S(0|2)$$.