Zwei Punkte reichen aus! - Zeichnerische Lösung

Um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen reicht es aus, zwei Punkte zu kennen.

Beispiel:

Eine Gerade geht durch die beiden Punkte $$A(–2|5)$$ und $$B(3|2,5)$$. Wenn du diese 2 Punkte ins Koordinatensystem einzeichnest, kannst du die Funktionsgleichung bestimmen.

Schritt 1: Zeichne die beiden Punkte in ein Koordinatensystem ein und zeichne die Gerade mit einem Lineal.

Schritt 2: Lies den Schnittpunkt mit der $$y$$-Achse $$(0|b)$$ ab.

Der $$y$$-Achsenabschnittspunkt ist $$(0|4)$$.
Du weißt jetzt schon: $$4$$ ist der zu $$x=0$$ gehörige $$y$$-Wert.
In der Funktionsgleichung ist $$b= 4$$.

Zeichnerische Lösung

Schritt 3: Bestimme mit dem Steigungsdreieck die Steigung

$$2$$ nach rechts, $$1$$ nach unten → $$m=-1/2$$

Schritt 4: Stelle die Funktionsgleichung $$y = f(x) = mx + b$$ auf.

Du kennst nun m und b und kannst die Funktionsgleichung aufschreiben:

$$f(x) = -1/2 x + 4$$

Funktionsgleichung berechnen

Die Steigung kann man auch berechnen, wenn man für das Steigungsdreieck den Unterschied der $$y$$-Werte geteilt durch den Unterschied der $$x$$-Werte nimmt, also

$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}$$

Schritt 1: Berechne die Steigung.

$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}={2,5-5}/(3-(-2))=-2,5/5=1/2$$

Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) = -0,5 x + b$$ sein muss, aber den Achsenabschnitt $$b$$ kennst du noch nicht.

Schritt 2: Setze die Koordinaten des Punkts $$A(-2|5)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$f (-2) = 5$$
$$(-0,5)*(-2) + b = 5$$

Schritt 3: Löse nach $$b$$ auf:

$$(-0,5)*(-2) + b = 5$$
$$1 + b = 5$$   $$| –1$$
$$b = 4$$

Schritt 4: Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = -0,5 x + 4$$

Im Fußballstadion - Zeichnerische Lösung

Nach einem Fußballspiel darf es nicht zu viel Gedränge geben. Deswegen müssen pro Minute jeweils gleich viele Zuschauer das Stadion verlassen.

Nach 10 Minuten sind noch 20000 Zuschauer im Stadion, nach 15 Minuten noch 7500.

Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du die Zuschauerzahl berechnen kannst, die das Spiel angesehen haben.

Schritt 1: Aus dem Aufgabentext ergeben sich die beiden Punkte $$A(10|20000)$$ und $$B(15|7500)$$.
Zeichne sie in ein Koordinatensystem ein.

Schritt 2: Zeichne die Gerade mit einem Lineal und lies den Schnittpunkt $$(0|b)$$ mit der $$y$$-Achse ab.

Der $$y$$-Achsenabschnittspunkt ist $$(0|45000)$$. Es gab also 45000 Zuschauer.
In der Funktionsgleichung ist $$b= 45000$$.

So sieht es allgemein aus

Aus den Koordinaten zweier Punkte $$P_1(x_1|y_1)$$ und $$P_2(x_2|y_2)$$ kann man den zugehörigen linearen Funktionsterm berechnen:

• Berechne die Steigung. $$m =(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$$

Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) =m x + b$$ sein muss, $$b$$ musst du noch berechnen.

• Setze die Koordinaten eines der Punkte in die halb fertige Funktionsgleichung ein, z.B.

$$f (x_1) =y_1 $$
$$m*x_1 + b = y_1$$

• Löse nach $$b$$ auf.

• Schreibe den Funktionsterm auf:

$$f(x) = m*x + b$$

Zeichnerische Lösung

Schritt 3: Gehe vom $$y$$-Achsenabschnittspunkt 1 nach rechts und von dort parallel zur $$y$$-Achse bis zur Geraden.
An dem Steigungsdreieck kannst du die Steigung ablesen.

Die Steigung ist $$m = – 2500.$$

Schritt 4: Stelle die Funktionsgleichung $$y = f(x) = mx + b$$ auf.
Du kennst nun $$m$$ und $$b$$ und kannst die Funktionsgleichung aufschreiben:

$$f(x) = -2500 x + 45000$$

So geht’s rechnerisch

Nochmal die wichtigsten Zahlen:

Nach 10 Minuten sind noch 20000 Zuschauer im Stadion, nach 15 Minuten noch 7500.

Stelle eine Funktionsgleichung auf, mit der du die Anzahl an Zuschauern berechnen kannst, die das Spiel angesehen haben.

Schritt 1: Berechne die Steigung.

$$m={\text{Differenz der }y \text{-Werte}}/{\text{Differenz der }x\text{-Werte}}=(7500-20000)/(15-10)=-12500/5=-2500$$

Du weißt jetzt, dass der Funktionsterm $$f(x) = –2500 x + b$$ sein muss, aber den Achsenabschnitt $$b$$ kennst du noch nicht.

Schritt 2: Setze die Koordinaten des Punkts $$A(10|20000)$$ in die halb fertige Funktionsgleichung ein:

$$f (10) = 20000$$
$$(-2500)*(10) + b =20000$$

Schritt 3: Löse nach $$b$$ auf:

$$(-2500)*(10) + b =20000$$
$$-25000 + b =20000$$   $$| +25000$$
$$b = 45000$$

Schritt 4: Schreibe den Funktionsterm auf: $$f(x) = –2500 x + 45000$$