Funktionswerte berechnen

Bei einer Funktion gehört zu jedem $$x$$-Wert ein $$y$$-Wert.

Mit dem Funktionsterm kannst du die $$y$$-Werte berechnen. Du setzt statt der Variablen jeweils eine Zahl ein und rechnest den Term dann aus.

Die $$y$$-Werte heißen auch Funktionswerte.

Beispiel:
Funktion: $$f($$$$x$$$$) = 3$$$$x$$ $$– 5$$

Den Funktionswert zu $$x=$$ $$5$$ berechnest du so:
$$f($$$$5$$$$) = 3*$$ $$5$$ $$– 5= 15$$ $$– 5 = 10$$

Den Funktionswert zu $$x=$$ $$-1$$ berechnest du so:
$$f($$$$-1$$$$) = 3*($$$$-1$$$$)$$ $$– 5=$$ $$–3$$ $$– 5 =$$ $$–8$$

$$x$$-Wert und $$y$$-Wert gehören zusammen. Sie bilden ein Wertepaar oder einen Punkt.

Du schreibst:
Die Wertepaare $$(-1|-8)$$ und $$(5|10)$$ gehören zur Funktion $$f(x)=3x-5$$

Das sieht doch aus wie bei Punkten im Koordinatensystem? Richtig!

   Funktionsterm
    ┌─┴──┐
$$f(x)=3x-5$$
└────┬────┘
Funktionsgleichung

Wertepaare und Punkte

Lineare Funktionen haben als Graph immer eine Gerade.

Das Wertepaar $$(x|y)$$kannst du als Punkt im Koordinatensystem zeichnen. Die Wertepaare der Funktion sind die Punkte der Geraden im Koordinatensystem.

Mit 2 Wertepaaren bzw. Punkten kannst du die Gerade zeichnen.

Beispiel:
Nach $$x$$ Minuten ist die Höhe $$h(x)$$ einer Kerze in cm $$h(x)=$$ $$–2/3 x + 20$$.

Um die Gerade zu zeichnen, berechnest du 2 Punkte, die nicht zu eng beieinander liegen.

Du rechnest:
$$h(0)=–2/3*0+20=20$$ $$rarr$$ Punkt $$(0|20)$$
$$h(30)=–2/3*30+20=–20+20=0$$ $$rarr$$ Punkt $$(30|0)$$

$$x$$-Koordinate
     $$darr$$
Punkt $$($$$$2$$$$|$$$$3$$$$)$$
      $$uarr$$
  $$y$$-Koordinate

Andersrum: $$x$$-Werte berechnen

Ein bisschen schwieriger ist es, wenn das $$y$$ gegeben ist und du das zugehörige $$x$$ berechnen sollst.

Die $$x$$-Werte heißen übrigens Argumente.

Beispiel:

Funktion:  $$f(x) = 3x$$ $$– 5$$

Wie heißt der $$x$$-Wert zum Funktionswert $$4$$?

Mathematisch: Für welches $$x$$ gilt $$f(x)=4$$?

$$3x-5=4$$  $$|$$ $$+5$$

   $$3x=9$$  $$|$$ $$:3$$

   $$x=3$$

Zum Funktionswert $$y=4$$ gehört $$x=3$$.

Anwendungsaufgabe

Anna hilft in den Ferien auf dem Erdbeerfeld aus. Sie kassiert die Preise für selbstgepflückte Erdbeeren.

• $$1$$ kg Erdbeeren kostet $$2,50$$ $$€$$.
• Jeder Kunde bezahlt zusätzlich $$0,50$$ $$€$$ dafür, dass er beim Pflücken ein wenig naschen darf.

Anna schreibt sich die Funktionsgleichung $$y=f(x) =2,5*x+0,5$$ auf und berechnet verschiedene Wertepaare.

Beispiel 1:
Wie viel kosten $$2$$ kg gepflückte Erdbeeren?
$$y=f(2)=2,5*2+0,5=5,5$$

$$2$$ kg gepflückte Erdbeeren kosten $$5,50$$ $$€$$.

Beispiel 2:
Herr Lu bezahlt $$13,00$$ $$€$$. Wie viel kg Erdbeeren hat er gepflückt?

$$y=f(x)=13,00$$

$$2,5*x+0,5=13,00$$  $$|$$ $$-0,5$$

    $$2,5*x=12,50$$  $$|$$ $$:2,5$$

      $$x=5$$

Herr Lu hat $$5$$ kg Erdbeeren gepflückt.

Wertetabelle

Damit Anna nicht jedes Mal rechnen muss, hat sie eine Wertetabelle angelegt:

$$y=f(x) =2,5*x+0,5$$

Der Graph dazu:

Eine Wertetabelle ist übersichtlich, wenn du mehr als 2 Punkte des Graphen berechnest.

Tipp Taschenrechner:

Manche Taschenrechner nehmen dir die Rechenarbeit für eine Wertetabelle ab – schau einmal in der Gebrauchsanweisung nach!

Ein bisschen Theorie zum Schluss

Definitionsbereich

Der Definitionsbereich sind alle Zahlen, die du in eine Funktion einsetzen kannst, also alle $$x$$-Werte.

Bei linearen Funktionen: $$D= QQ$$

Wertebereich

Der Definitionsbereich sind Funktionswerte ($$y$$-Werte), die beim Berechnen des Funktionsterms rauskommen können.

Bei linearen, aber nicht konstanten Funktionen: $$W= QQ$$