Funktionswerte bestimmen
Funktionswerte berechnen
Bei einer Funktion gehört zu jedem x-Wert ein y-Wert.
Mit dem Funktionsterm kannst du die y-Werte berechnen. Du setzt statt der Variablen jeweils eine Zahl ein und rechnest den Term dann aus.
Die y-Werte heißen auch Funktionswerte.
Beispiel:
Funktion: f(x)=3x –5
Den Funktionswert zu x= 5 berechnest du so:
f(5)=3⋅ 5 –5=15 –5=10
Den Funktionswert zu x= -1 berechnest du so:
f(-1)=3⋅(-1) –5= –3 –5= –8
x-Wert und y-Wert gehören zusammen. Sie bilden ein Wertepaar oder einen Punkt.
Du schreibst:
Die Wertepaare (-1∣-8) und (5∣10) gehören zur Funktion f(x)=3x-5
Das sieht doch aus wie bei Punkten im Koordinatensystem? Richtig!
So sieht’s allgemein aus:
Funktionsgleichung:
y=f(x)=mx+b (für jeden x-Wert)
Funktionswert für x=2:
f(2)=m⋅2+b (für einen bestimmten x-Wert)
Funktionsterm
┌─┴──┐
f(x)=3x-5
└────┬────┘
Funktionsgleichung
Wertepaare und Punkte
Lineare Funktionen haben als Graph immer eine Gerade.
Das Wertepaar (x∣y)kannst du als Punkt im Koordinatensystem zeichnen. Die Wertepaare der Funktion sind die Punkte der Geraden im Koordinatensystem.
Mit 2 Wertepaaren bzw. Punkten kannst du die Gerade zeichnen.
Beispiel:
Nach x Minuten ist die Höhe h(x) einer Kerze in cm h(x)= –23x+20.
Um die Gerade zu zeichnen, berechnest du 2 Punkte, die nicht zu eng beieinander liegen.
Du rechnest:
h(0)=–23⋅0+20=20 → Punkt (0∣20)
h(30)=–23⋅30+20=–20+20=0 → Punkt (30∣0)
x-Koordinate
↓
Punkt (2∣3)
↑
y-Koordinate
Hier heißt die Funktion nicht f, sondern h. Statt f für irgend eine Funktion, wählt man hier h für die Funktionsgleichung der Höhe.
Andersrum: x-Werte berechnen
Ein bisschen schwieriger ist es, wenn das y gegeben ist und du das zugehörige x berechnen sollst.
Die x-Werte heißen übrigens Argumente.
Beispiel:
Funktion: f(x)=3x –5
Wie heißt der x-Wert zum Funktionswert 4?
Mathematisch: Für welches x gilt f(x)=4?
3x-5=4 ∣ +5
3x=9 ∣ :3
x=3
Zum Funktionswert y=4 gehört x=3.
Ein x-Wert heißt auch Argument oder Abszisse (von lat. linea abscissa „abgeschnittene Linie“)
Ein y-Wert heißt auch Ordinate (von lat. linea ordinata „geordnete Linie“)
y ist von x abhängig – als Eselbrücke für die Bezeichnungen kannst du dich an die Reihenfolge im Alphabet halten:
A vor O so wie x vor y.
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Anwendungsaufgabe
Anna hilft in den Ferien auf dem Erdbeerfeld aus. Sie kassiert die Preise für selbstgepflückte Erdbeeren.
- 1 kg Erdbeeren kostet 2,50 €.
- Jeder Kunde bezahlt zusätzlich 0,50 € dafür, dass er beim Pflücken ein wenig naschen darf.
Anna schreibt sich die Funktionsgleichung y=f(x)=2,5⋅x+0,5 auf und berechnet verschiedene Wertepaare.
Beispiel 1:
Wie viel kosten 2 kg gepflückte Erdbeeren?
y=f(2)=2,5⋅2+0,5=5,5
2 kg gepflückte Erdbeeren kosten 5,50 €.
Beispiel 2:
Herr Lu bezahlt 13,00 €. Wie viel kg Erdbeeren hat er gepflückt?
y=f(x)=13,00
2,5⋅x+0,5=13,00 ∣ -0,5
2,5⋅x=12,50 ∣ :2,5
x=5
Herr Lu hat 5 kg Erdbeeren gepflückt.
Wertetabelle
Damit Anna nicht jedes Mal rechnen muss, hat sie eine Wertetabelle angelegt:
y=f(x)=2,5⋅x+0,5
| Gewicht in kg (x) | Preis in Euro (y) |
|---|---|
Der Graph dazu:
Eine Wertetabelle ist übersichtlich, wenn du mehr als 2 Punkte des Graphen berechnest.
Tipp Taschenrechner:
Manche Taschenrechner nehmen dir die Rechenarbeit für eine Wertetabelle ab – schau einmal in der Gebrauchsanweisung nach!
Ein bisschen Theorie zum Schluss
Definitionsbereich
Der Definitionsbereich sind alle Zahlen, die du in eine Funktion einsetzen kannst, also alle x-Werte.
Bei linearen Funktionen: D=ℚ
Wertebereich
Der Definitionsbereich sind Funktionswerte (y-Werte), die beim Berechnen des Funktionsterms rauskommen können.
Bei linearen, aber nicht konstanten Funktionen: W=ℚ
ℚ sind die rationalen Zahlen: alle positiven und negativen Brüche.
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