Nullstellen bestimmen

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Nullstellen bestimmen

Was sind Nullstellen?

Nullstellen sind die $x$ -Werte einer Funktion, die den $y$ -Wert $0$ haben.

Beispiel:

Eine Kerze ist zu Beginn 18 cm lang. Pro Stunde brennen 3 cm ab. Wann ist sie abgebrannt?

Die Funktionsgleichung für die Kerzenlänge ist
$f(x)=18$ $– 3*x =$ $–3x +18$

$x$ : Stunden
$y$ : Länge der Kerze

Wenn die Kerze abgebrannt ist, bedeutet das, dass die Länge $0$ ist. Der $y$ -Wert ist $0$ und der $x$ -Wert dazu gibt den Zeitpunkt an, bei dem die Kerze abgebrannt ist.

Mathematisch:

Für welches $x$ ist $y=0$ ? Wann gilt $f(x)=0$ ?

Wertetabelle:

$x$	$0$	$3$	$4$	$5$	$6$
$y=f(x)$	$18$	$9$	$6$	$3$	$0$

Die Kerze ist nach $6$ Stunden abgebrannt. Die Nullstelle dieser linearen Funktion ist also $x=6$ . Es gilt $f(6)=0$ .

Eine Nullstelle ist die Stelle $x$ , an der die Funktion $f$ den $y$ -Wert $0$ hat. Es gilt $f(x)=0$ .

Nullstellen im Koordinatensystem ablesen

Der Graph zu der Kerzenaufgabe sieht so aus:

$f(x)=$ $– 3x + 18$

Nach $6$ Stunden ist ihre Länge $0$ – der zugehörige Punkt $(6|0)$ liegt auf der $x$ -Achse. Die Nullstelle ist $x = 6$ . Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist $S(6|0)$ .

Nullstellen bestimmen

So ermittelst du die Nullstellen einer linearen Funktion zeichnerisch:

Zeichne die Gerade.
Lies den $x$ -Wert ab, in dem die Gerade die $x$ -Achse schneidet. Dies ist die Nullstelle.

Nullstellen sind die Schnittstellen mit der $x$ -Achse.

Alle Punkte auf der $x$ -Achse haben die $y$ -Koordinate $0$ .

Der Schnittpunkt eines Graphen mit der $x$ -Achse ergibt sich aus der Nullstelle als $x$ -Wert und dem zugehörigen $y$ -Wert $0$ : $S(x|0)$

Nullstellen berechnen

Für eine Nullstelle muss gelten: $f(x)=0$ . Das brauchst du zum Rechnen.

$f(x) =$ $– 3x + 18$

$– 3x + 18=0$

Diese Gleichung löst du nach $x$ auf.

$– 3x + 18 = 0$ $|$ $– 18$

$–3x =$ $– 18$ $|$ $: (–3)$

$x = 6$

Die Nullstelle ist $x=6$ .

Allgemein gilt:

$mx + b = 0 | –b$

$m*x =$ $– b$ $|$ $: m$

$x=-b/m$ Das ist die Nullstelle.

Nicht vergessen: $m$ darf nicht $0$ sein. $m≠0$

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Und wie bekommt man den Schnittpunkt mit der $x$ -Achse?

$f(x) = – 3x + 18$

Nullstellen bestimmen

Du berechnest zuerst die Nullstelle:

$–3x+18=0$

$–3x = 18$

$x = 6$

Du hast $x = 6$ mit der Bedingung $f(x)=0$ berechnet. Also ist der zu $x = 6$ gehörige $y$ -Wert $0$ .
Der Schnittpunkt mit der $x$ -Achse ist $S(6|0)$ .