Nullstellen bestimmen
Was sind Nullstellen?
Nullstellen sind die $$x$$-Werte einer Funktion, die den $$y$$-Wert $$0$$ haben.
Beispiel:
Eine Kerze ist zu Beginn 18 cm lang. Pro Stunde brennen 3 cm ab. Wann ist sie abgebrannt?
Die Funktionsgleichung für die Kerzenlänge ist
$$f(x)=18$$ $$– 3*x =$$ $$–3x +18$$
$$x$$: Stunden
$$y$$: Länge der Kerze
Wenn die Kerze abgebrannt ist, bedeutet das, dass die Länge $$0$$ ist. Der $$y$$-Wert ist $$0$$ und der $$x$$-Wert dazu gibt den Zeitpunkt an, bei dem die Kerze abgebrannt ist.
Mathematisch:
Für welches $$x$$ ist $$y=0$$? Wann gilt $$f(x)=0$$?
Wertetabelle:
| $$x$$ | $$0$$ | $$3$$ | $$4$$ | $$5$$ | $$6$$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $$y=f(x)$$ | $$18$$ | $$9$$ | $$6$$ | $$3$$ | $$0$$ |
Die Kerze ist nach $$6$$ Stunden abgebrannt. Die Nullstelle dieser linearen Funktion ist also $$x=6$$. Es gilt $$f(6)=0$$.
Eine Nullstelle ist die Stelle $$x$$, an der die Funktion $$f$$ den $$y$$-Wert $$0$$ hat. Es gilt $$f(x)=0$$.
Nullstellen im Koordinatensystem ablesen
Der Graph zu der Kerzenaufgabe sieht so aus:
$$f(x)=$$ $$– 3x + 18$$
Nach $$6$$ Stunden ist ihre Länge $$0$$ – der zugehörige Punkt $$(6|0)$$ liegt auf der $$x$$-Achse. Die Nullstelle ist $$x = 6$$. Der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse ist $$S(6|0)$$.
So ermittelst du die Nullstellen einer linearen Funktion zeichnerisch:
- Zeichne die Gerade.
- Lies den $$x$$-Wert ab, in dem die Gerade die $$x$$-Achse schneidet. Dies ist die Nullstelle.
Nullstellen sind die Schnittstellen mit der $$x$$-Achse.
Alle Punkte auf der $$x$$-Achse haben die $$y$$-Koordinate $$0$$.
Der Schnittpunkt eines Graphen mit der $$x$$-Achse ergibt sich aus der Nullstelle als $$x$$-Wert und dem zugehörigen $$y$$-Wert $$0$$: $$S(x|0)$$
Nullstellen berechnen
Für eine Nullstelle muss gelten: $$f(x)=0$$. Das brauchst du zum Rechnen.
$$f(x) =$$ $$– 3x + 18$$
$$– 3x + 18=0$$
Diese Gleichung löst du nach $$x$$ auf.
$$– 3x + 18 = 0$$ $$|$$ $$– 18$$
$$–3x =$$ $$– 18$$ $$|$$ $$: (–3)$$
$$x = 6$$
Die Nullstelle ist $$x=6$$.
Allgemein gilt:
$$mx + b = 0 | –b$$
$$m*x =$$ $$– b$$ $$|$$ $$: m$$
$$x=-b/m$$ Das ist die Nullstelle.
Nicht vergessen: $$m$$ darf nicht $$0$$ sein. $$m≠0$$
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Und wie bekommt man den Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse?
$$f(x) = – 3x + 18$$
Du berechnest zuerst die Nullstelle:
$$–3x+18=0$$
$$–3x = 18$$
$$x = 6$$
Du hast $$x = 6$$ mit der Bedingung $$f(x)=0$$ berechnet. Also ist der zu $$x = 6$$ gehörige $$y$$-Wert $$0$$.
Der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse ist $$S(6|0)$$.
Du kannst zur Probe nachrechnen: $$f(6) = (–3)*6 + 18 = -18 +18 = 0$$.
Manchmal heißt die Nullstelle $$x_0$$. Dann lautet der Schnittpunkt mit der $$x$$-Achse $$S(x_0|0)$$.
Die $$x$$-Achse besteht aus allen Punkten mit der $$y$$-Koordinate $$0$$.
Wie viele Nullstellen gibt es?
Wenn die Steigung größer oder kleiner $$0$$ ist, schneidet die Gerade die $$x$$-Achse genau einmal.
Beispiele:
$$f(x)= 0,5*x-3,5$$ $$f(x)=$$ $$–2*x – 4$$
$$m=0,5>0$$ $$m=$$ $$–2 < 0$$
Wenn die Steigung $$=0$$ ist, dann ist der Graph parallel zur $$x$$-Achse und schneidet die $$x$$-Achse nicht. Es gibt keine Nullstelle.
Beispiel:
$$f(x) = 3$$
$$m = 0$$, denn $$f(x) = 0*x +3$$
Andere Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben.
Die lineare Funktion zu $$f(x) = m x + b$$ hat immer genau eine Nullstelle, außer wenn $$m = 0$$ ist.
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