Nullstellen bestimmen
Was sind Nullstellen?
Nullstellen sind die x-Werte einer Funktion, die den y-Wert 0 haben.
Beispiel:
Eine Kerze ist zu Beginn 18 cm lang. Pro Stunde brennen 3 cm ab. Wann ist sie abgebrannt?
Die Funktionsgleichung für die Kerzenlänge ist
f(x)=18 – –3x +18
x: Stunden
y: Länge der Kerze
Wenn die Kerze abgebrannt ist, bedeutet das, dass die Länge 0 ist. Der y-Wert ist 0 und der x-Wert dazu gibt den Zeitpunkt an, bei dem die Kerze abgebrannt ist.
Mathematisch:
Für welches x ist y=0? Wann gilt f(x)=0?
Wertetabelle:
| x | 0 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| y=f(x) | 18 | 9 | 6 | 3 | 0 |
Die Kerze ist nach 6 Stunden abgebrannt. Die Nullstelle dieser linearen Funktion ist also x=6. Es gilt f(6)=0.
Eine Nullstelle ist die Stelle x, an der die Funktion f den y-Wert 0 hat. Es gilt f(x)=0.
Nullstellen im Koordinatensystem ablesen
Der Graph zu der Kerzenaufgabe sieht so aus:
f(x)= – 3x + 18
Nach 6 Stunden ist ihre Länge 0 – der zugehörige Punkt (6|0) liegt auf der x-Achse. Die Nullstelle ist x = 6. Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S(6|0).
So ermittelst du die Nullstellen einer linearen Funktion zeichnerisch:
- Zeichne die Gerade.
- Lies den x-Wert ab, in dem die Gerade die x-Achse schneidet. Dies ist die Nullstelle.
Nullstellen sind die Schnittstellen mit der x-Achse.
Alle Punkte auf der x-Achse haben die y-Koordinate 0.
Der Schnittpunkt eines Graphen mit der x-Achse ergibt sich aus der Nullstelle als x-Wert und dem zugehörigen y-Wert 0: S(x|0)
Nullstellen berechnen
Für eine Nullstelle muss gelten: f(x)=0. Das brauchst du zum Rechnen.
f(x) = – 3x + 18
– 3x + 18=0
Diese Gleichung löst du nach x auf.
– 3x + 18 = 0 | – 18
–3x = – 18 | : (–3)
x = 6
Die Nullstelle ist x=6.
Allgemein gilt:
mx + b = 0 | –b
m*x = – b | : m
x=-b/m Das ist die Nullstelle.
Nicht vergessen: m darf nicht 0 sein. m≠0
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Und wie bekommt man den Schnittpunkt mit der x-Achse?
f(x) = – 3x + 18
Du berechnest zuerst die Nullstelle:
–3x+18=0
–3x = 18
x = 6
Du hast x = 6 mit der Bedingung f(x)=0 berechnet. Also ist der zu x = 6 gehörige y-Wert 0.
Der Schnittpunkt mit der x-Achse ist S(6|0).
Du kannst zur Probe nachrechnen: f(6) = (–3)*6 + 18 = -18 +18 = 0.
Manchmal heißt die Nullstelle x_0. Dann lautet der Schnittpunkt mit der x-Achse S(x_0|0).
Die x-Achse besteht aus allen Punkten mit der y-Koordinate 0.
Wie viele Nullstellen gibt es?
Wenn die Steigung größer oder kleiner 0 ist, schneidet die Gerade die x-Achse genau einmal.
Beispiele:
f(x)= 0,5*x-3,5 f(x)= –2*x – 4
m=0,5>0 m= –2 < 0
Wenn die Steigung =0 ist, dann ist der Graph parallel zur x-Achse und schneidet die x-Achse nicht. Es gibt keine Nullstelle.
Beispiel:
f(x) = 3
m = 0, denn f(x) = 0*x +3
Andere Funktionen können mehr als eine Nullstelle haben.
Die lineare Funktion zu f(x) = m x + b hat immer genau eine Nullstelle, außer wenn m = 0 ist.
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