Den Kongruenzsatz WSW nutzen
Der Kongruenzsatz WSW
Der zweite der vier Kongruenzsätze wird mit WSW bezeichnet.
Der Kongruenzsatz WSW (Winkel - Seite - Winkel)
Stimmen zwei Dreiecke in einer ihrer Seiten (S) und beiden an diesen Seiten anliegenden Winkeln (W) überein, so sind sie kongruent zueinander.
Du kannst den Kongruenzsatz WSW also in den folgenden Fällen anwenden:
1. gegeben: $$alpha$$, c, $$beta$$
2. gegeben: $$beta$$, a, $$gamma$$
3. gegeben: $$gamma$$, b, $$alpha$$
Zur Erinnerung: Winkel werden mit griechischen Buchstaben bezeichnet, der Winkel bei A ist $$alpha$$, der bei B ist $$beta$$ und der bei dem Punkt C ist $$gamma$$.
Beispiele
Beispiel 1:
Dreieck 1: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Dreieck 2: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Offensichtlich sind Dreieck 1 und Dreieck 2 jetzt nach dem Kongruenzsatz WSW zueinander kongruent. Sie stimmen in der Seite c und den beiden anliegenden Winkeln $$alpha$$ und $$beta$$ überein.
Beispiel 2:
Dreieck 3: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Dreieck 4: $$beta$$ = 70°, a = 6,3 cm, $$gamma$$ = 42°
Auch die Dreiecke 3 und 4 sind zueinander kongruent, da an die Seite c die Winkel $$alpha$$ und $$beta$$ angrenzen und an die Seite a die Winkel $$beta$$ und $$gamma$$.
Beispiel 3:
Dreieck 5: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$beta$$ = 42°
Dreieck 6: $$beta$$ = 42°, a = 6,3 cm, $$gamma$$ = 70°
Die Dreiecke 5 und 6 sind ebenfalls zueinander kongruent, auch wenn hier die rechts und links anliegenden Winkel vertauscht sind. Dreieck 6 ist Dreieck 5 gespiegelt.
Beispiel 4:
Dreieck 7: $$alpha$$ = 70°, c = 6,3 cm, $$gamma$$ = 42°
Dreieck 8: $$beta$$ = 42°, a = 6,3 cm, $$gamma$$ = 70°
Obwohl hier jeweils eine Seite und zwei Winkel gegeben sind, lässt sich der Kongruenzsatz WSW nicht anwenden, da bei Dreieck 7 der Winkel $$gamma$$ der Seite c gegenüber und nicht anliegt.
Konstruieren mit dem Kongruenzsatz WSW
So konstruiert du mit WSW:
Konstruktionsbeschreibung
Konstruiere ein Dreieck mit der Seitenlänge b=5 cm, $$alpha$$ = 30° und $$gamma$$ = 70°. Dazu gehst Du folgendermaßen vor.
1. Schritt:
Zeichne die Seite b mit den Eckpunkten A und C.
2. Schritt:
Trage am Punkt A den Winkel $$alpha$$ ab und zeichne durch den Punkt A eine Gerade g, die lang genug ist.
3. Schritt:
Trage am Punkt C den Winkel $$gamma$$ ab und zeichne durch den Punkt C eine Gerade h, die lang genug ist.
4. Schritt:
Die Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt. Nenne diesen Punkt B.
5. Schritt:
Verbinde die Punkte A und B zur Strecke c.
6. Schritt:
Verbinde die Punkte C und B zur Strecke a.
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Allgemeines Vorgehen
Um die Konstruktion auch in den anderen Fällen durchführen zu können, gehst du so vor:
| gegeben | $$alpha$$, c, $$beta$$ | $$beta$$, a, $$gamma$$ | $$gamma$$, b, $$alpha$$ |
|---|---|---|---|
| Schritt 1 | c zeichnen | a zeichnen | b zeichnen |
| Schritt 2 | $$alpha$$ an A abtragen | $$beta$$ an B abtragen | $$gamma$$ an C abtragen |
| Schritt 3 | $$beta$$ an B abtragen | $$gamma$$ an C abtragen | $$alpha$$ an A abtragen |
| Schritt 4 | Punkt C als Schnittpunkt | Punkt A als Schnittpunkt | Punkt B als Schnittpunkt |
| Schritt 5/6 | a und b zeichnen | b und c zeichnen | c und a zeichnen |
Beweis des Kongruenzsatzes WSW
Da die beiden Winkel an den gegebenen Seiten anliegen, besteht die einzige Möglichkeit, das Dreieck auf verschiedene Arten zu zeichnen, darin, diese beiden Winkel zu vertauschen. Fahren wir dann mit der Konstruktion wie beschrieben fort, so erhalten wir zwei zueinander spiegelbildliche Dreiecke.
Solche Dreiecke sind zueinander kongruent.
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