Was ist eigentlich ein Dreieck?

Ein Dreieck besteht aus drei Punkten, die nicht auf einer Geraden liegen und den Verbindungsstrecken.

Die Punkte werden als Ecken und die Strecken als Seiten bezeichnet.

Ein Dreieck besteht also aus drei Ecken und drei Seiten.

So wird ein Dreieck bezeichnet

Die Ecken werden mit Großbuchstaben (meist A, B und C) bezeichnet.

Die Seiten werden mit Kleinbuchstaben (a, b und c) bezeichnet.

Die Innenwinkel werden mit kleinen griechischen Buchstaben
($$alpha$$, $$beta$$ und $$gamma$$) bezeichnet.

Zur Übersicht:

Die Winkelsumme in einem Dreieck

Die Summe der Innenwinkelgrößen in einem Dreieck beträgt immer 180°.

$$alpha + beta + gamma = 180°$$

Auf dem Bild ist $$alpha$$ genauso groß wie $$alpha_1$$. Das Gleiche gilt für $$beta$$ und $$beta_1$$.
Legst du alle Winkel nebeneinander, so erhältst du einen gestreckten Winkel. Ein gestreckter Winkel ist 180° groß.

Addierst du die Winkelgrößen von $$alpha$$, $$beta$$ und $$gamma$$, so erhältst du als Ergebnis die Summe von 180°.

Wozu brauchst du die Winkelsumme?

Sind zum Beispiel zwei Winkelgrößen gegeben, kann man recht schnell den dritten fehlenden Winkel berechnen.

geg.: $$alpha = 55°$$ und $$beta = 45°$$
ges.: $$gamma$$

$$alpha + beta + gamma = 180°$$

$$55° + 45° + gamma = 180°$$

$$100° + gamma = 180°$$

$$gamma = 80°$$

Da gibt es aber noch die Außenwinkel

Die Nebenwinkel der Innenwinkel eines Dreiecks heißen Außenwinkel.

Ein Innenwinkel und der dazugehörige Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.

Die Summe der Außenwinkelgrößen eines Dreiecks beträgt immer 360°.

$$alpha´ + beta´+ gamma´ = 360°$$

Wozu brauchst du die Nebenwinkel?

Ist ein Innenwinkel und ein anderer Nebenwinkel gegeben, kannst du die fehlenden Winkel berechnen.

geg: $$alpha´= 80 °$$ und $$beta = 45°$$ ges: $$alpha, gamma$$

Du berechnest zuerst den Winkel $$alpha$$:

$$alpha + alpha´= 180°$$

$$alpha + 80° = 180°$$

$$alpha = 100°$$

Dann verwendest du den Satz über die Innenwinkelsumme und berechnest damit $$gamma$$.

$$alpha + beta + gamma = 180°$$

$$100° + 45° + gamma = 180°$$

$$145° + gamma = 180°$$

$$gamma = 35°$$

So werden die Dreiecke eingeteilt Teil 1

Die Dreiecke können nach den Winkelgrößen und nach den Seitenlängen eingeteilt werden.

Einteilung nach Winkelgrößen:

Art des Dreiecks	Besonderheit
spitzwinklig	alle Winkel sind spitz, also: $$alpha, beta, gamma lt 90°$$
rechtwinklig	ein Winkel ist genau 90° groß und die beiden anderen sind spitz, also z.B.: $$alpha = 90°$$ und $$beta, gamma lt90°$$
stumpfwinklig	ein Winkel ist stumpf und die beiden anderen sind spitz, also z.B.: $$alpha gt 90°$$ und $$beta, gamma lt 90°$$

So werden die Dreiecke eingeteilt Teil 2

Einteilung nach Seitenlängen:

Art des Dreiecks	Besonderheit
ungleichseitig	alle Seiten sind unterschiedlich lang, also: $$a!=b!=c$$
gleichschenklig	zwei Seiten sind gleich lang also z.B.: $$a = b, c != a$$ und $$c !=b$$
gleichseitig	alle Seiten sind gleich lang, also: $$a = b = c$$

Wann entsteht ein Dreieck?

Du kannst prüfen, ob 3 gegebene Seitenlängen ein Dreieck ergeben. Und das ohne zu zeichnen!

Das geht mit der Dreiecksungleichung.

So gehst du vor:
Du setzt statt den Buchstaben die vorgegebenen Seitenlängen ein und überprüfst, ob die Ungleichungen stimmen oder nicht.

Beispiel 1:
geg: $$a = 3   cm, b = 4 cm$$ und $$c = 5 cm$$

$$a + b gt c =>3 cm + 4 cm gt 5 cm => 7 cm gt 5 cm$$, das stimmt
$$a+c gt b => 3 cm + 5  cm gt 4  cm => 8 cm gt 4  cm$$, das stimmt
$$b+c gta => 4   cm + 5   cm gt 3   cm => 9   cm gt 3   cm$$, das stimmt

Alle drei Gleichungen sind wahre Aussagen. Das heißt, dass die 3 Seitenlängen $$a$$, $$b$$ und $$c$$ ein Dreieck ergeben.

Beispiel 2:
geg: $$a = 4   cm, b = 2   cm$$ und $$c = 1   cm$$

$$a + b gt c =>4   cm + 2   cm gt 1   cm => 6   cm gt 1   cm$$, das stimmt
$$a+c gt b => 4   cm + 1   cm gt 2   cm => 5   cm gt2   cm$$, das stimmt
$$b+c gta => 2   cm + 1   cm gt 4   cm => 3   cm gt 4   cm$$, das stimmt nicht

Nicht alle drei Gleichungen sind wahre Aussagen. Das heißt, die 3 Seitenlängen $$a$$, $$b$$ und $$c$$ ergeben kein Dreieck.

Änderungen am Dreieck

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