Die Umfangsformel und die Flächenformel

Erinnerst du dich, wie du den Umfang und wie du die Fläche eines Kreises berechnest?

Umfang: $$u = pi * d$$ oder $$u = 2 * pi * r$$

Fläche: $$A = pi * r^2$$

Hinweis: Wenn du keinen Taschenrecher mit $$pi$$-Taste hast, rechne mit $$pi approx 3,14$$.

Kreisbogen

Ein Teil eines Kreises heißt Kreissektor oder Kreisausschnitt.
Der Teil des Umfangs, der zu diesem Kreissektor gehört, heißt Kreisbogen. Er wird mit $$b$$ bezeichnet.

Der Anteil des Kreisbogens am gesamten Umfang entspricht dem Anteil des Winkels an 360° (gesamter Kreis).

Hier siehst du Anteile, die häufig vorkommen:

$$90°$$$$:$$ $$(90°)/(360°) = 1/4$$ $$rarr$$ Viertelkreis

$$180°$$$$:$$ $$(180°)/(360°) = 1/2$$ $$rarr$$ Halbkreis

$$270°$$$$:$$ $$(270°)/(360°) = 3/4$$ $$rarr$$ Dreiviertelkreis

Anteil des Umfangs mal gesamter Umfang ergibt den Kreisbogen $$b$$.

$$b = alpha/(360°) * pi * d$$ oder

$$b = alpha/(360°) * 2 * pi * r$$

Rechnen mit der Kreisbogenformel

Sei der Kreissektor durch $$alpha = 40°$$ gegeben. Der Durchmesser des Kreises ist $$d = 8$$ $$cm$$.

Berechne den Kreisbogen $$b$$.

$$b = alpha/(360°) * pi * d$$

$$b = (40°)/(360°) * pi * 8$$ cm

$$b = 1/9 * pi * 8$$ cm

$$b approx 2,79$$ cm

Die Länge des Kreisbogens beträgt ungefähr $$2,79$$ cm.

Noch ein Beispiel

Sei der Kreissektor durch $$alpha = 40°$$ gegeben. Die Länge des Kreisbogens beträgt $$b = 5$$ $$cm$$.

Berechne den Durchmesser $$d$$ des Kreises.

$$b = alpha/(360°) * pi * d$$

$$5   cm = (40°)/(360°) * pi * d$$

$$5   cm = 1/9 * pi * d$$

Löse die Gleichung nach $$d$$ auf.

Es gilt:

$$d = (9*5   cm)/pi$$

$$d approx 14,32$$ cm.

Der Durchmesser des Kreises beträgt ungefähr $$14,32$$ $$cm$$.

Kreissektor

Ein Kreissektor wird mit $$A_s$$ bezeichnet.

Der Anteil des Kreissektors am gesamten Umkreis entspricht dem Anteil des Winkels an 360° (gesamter Kreis).

Diese Anteile kommen häufig vor:

$$90°$$$$:$$ $$(90°)/(360°) = 1/4$$ $$rarr$$ Viertelkreis

$$180°$$$$:$$ $$(180°)/(360°) = 1/2$$ $$rarr$$ Halbkreis

$$270°$$$$:$$ $$(270°)/(360°) = 3/4$$ $$rarr$$ Dreiviertelkreis

Anteil der Kreisfläche mal ganzer Kreis ergibt den Kreissektor $$A_s$$.

$$A_s = alpha/(360°) * pi * r^2$$

Rechnen mit der Kreissektorformel

Sei der Kreissektor durch $$alpha = 40°$$ gegeben. Der Kreis hat einen Durchmesser von $$d = 8$$ cm ($$rArr$$ $$r=4$$ cm).

Berechne den Kreissektor $$A_s$$.

$$A_s = alpha/(360°) * pi * r^2$$

$$A_s = (40°)/(360°) * pi * (4 cm)^2$$

$$A_s = 1/9 * pi * 16$$ $$cm^2$$

$$A_s approx 5,6$$ $$cm^2$$

Der Flächeninhalt des Kreissektors beträgt ungefähr $$5,6$$ $$cm^2$$.

Rechnen mit der Kreissektorformel

Sei der Kreissektor durch $$alpha = 40°$$ gegeben. Der Flächeninhalt des Kreissektor beträgt $$A_s=10$$ $$cm^2$$.

Berechne den Durchmesser $$d$$ des Kreises.

$$A_s = alpha/(360°) * pi * r^2$$

$$10 cm^2 = (40°)/(360°) * pi * r^2$$

$$10 cm^2 = 1/9 * pi * r^2$$

Löse die Gleichung nach $$r$$ auf.

Es gilt:

$$r^2 = (9*10 cm)/(pi)$$

$$r = sqrt( (9*10  cm)/(pi)$$

$$r approx 5,35$$ $$cm$$

Der Radius des Kreises beträgt also ungefähr $$r=5,35$$ $$cm$$. Also beträgt der Durchmesser des Kreises ungefähr $$d=10,7$$ $$cm$$.