Zusammengesetzte Figuren

Frau Farbenfroh möchte eine Seite ihres Hauses neu verputzen. Außerdem soll an jeder Kante eine Holzleiste angebracht werden. Dazu berechnet Frau Farbenfroh den Flächeninhalt und den Umfang der Hausseite, indem sie die Gesamtfläche in Teilflächen zerlegt, die sie berechnen kann, nämlich ein Dreieck und ein Rechteck.

Flächeninhalt zusammengesetzter Figuren

Frau Farbenfroh berechnet also zuerst den Flächeninhalt des Dreiecks und des Rechtecks und addiert anschließend die Ergebnisse.

Flächeninhalt Rechteck:
$$A=a*b$$
$$A= 8,50  m * 3,50  m= 29,75 m^2$$

Flächeninhalt Dreieck:
$$A_D=(a*h_a)/2$$

$$A_D= ( 8,50  m * 2,50  m)/2=(21,25 m^2)/2=10,625 m^2$$

Flächeninhalt Gesamt:
$$A_G=A+A_D$$
$$A_G= 29,75 m^2+10,625 m^2=40,375 m^2$$

Die Fläche, die Frau Farbenfroh neu verputzen möchte ist 40,375 m² groß.

Weiter mit dem Umfang

Um den Umfang der Hausseite zu berechnen, addiert Frau Farbenfroh einfach alle Seitenlängen.

Für die Hausseite von Frau Farbenfroh ergibt sich folgender Umfang:

$$U= a+b+c+c+b=a+2*b+2*c$$

$$=8,50 m+2*3,50 + 2*4,93 m$$

$$=8,50 m+7 m+9,86 m=25,36 m$$

Die Holzleisten, die an den Kanten der Hausseite angebracht werden sollen, haben eine Gesamtlänge von 25,36 m.

Ein anderes Beispiel

Die Hofeinfahrt von Bauer Jeschke wird neu gepflastert. Außerdem soll sie mit einem neuen Metallzaun mit Schiebetor eingefasst werden.

Wie groß sind Fläche und Umfang?

Die Fläche besteht aus zwei gleich großen Quadraten und einem Rechteck.

Flächeninhalt:

$$A_1=a^2=(3 m)^2=3 m*3 m=9 m^2$$

$$A_2= b*c=4 m*10 m=40 m^2$$

$$A_G=2*A_1+A_2=2*9 m^2+40 m^2$$

$$=18 m^2+40 m^2=58 m^2$$

Umfang:

$$U=6*a+2*b+c+d$$

$$=6*3 m+2*4 m+10 m+4 m$$

$$=18 m+8 m+10 m+4 m=40 m$$

Die Fläche, die neu gepflastert wird ist 58 m² groß und der Metallzaun ist insgesamt 40 m lang.

Mehrere Lösungsmöglichkeiten

Es gibt oft mehrere Möglichkeiten, die Gesamtfläche in Teilflächen zu zerteilen:

oder

Man kann auch von einer Gesamtfläche eine Teilfläche subtrahieren:

Und noch ein Beispiel

Auch den Flächeninhalt und Umfang dieses unregelmäßigen Fünfecks kannst du berechnen, indem du es in bekannte Teilfiguren zerlegst. In diesem Fall sind es drei Dreiecke.
Auch hier gibt es wieder mehrere Möglichkeiten, z.B. diese:

zum Berechnen:

Flächeninhalt:

$$A_G=A_1+A_2+A_3$$

$$A_G=(a*h_1)/2+(g*h_2)/2+(b*h_3)/2$$

$$= ( 4,12  cm * 1,79  cm)/2+( 7,07  cm * 1,41  cm)/2+( 6,08  cm * 4,11  cm)/2$$

$$=( 7,37  cm^2+9,97  cm^2+ 24,99  cm^2)/2=(42,33  cm^2)/2= 21,17  cm^2$$

Umfang:

$$U=a+b+c+d+e$$

$$=4,12  cm+6,08  cm+4,12  cm+4,47  cm+2,24  cm=21,03  cm$$