Was sind rationale Zahlen $$QQ$$ ?

Rationale Zahlen kannst du so darstellen:

So wandelst du Brüche in Dezimalbrüche um

Brüche kannst du entweder in periodische oder abbrechende Dezimalbrüche umwandeln. Dazu dividierst du Zähler durch Nenner:

Beispiel:

$$7/11=   ?$$

$$7:11=0,$$$$6$$$$3…$$
$$7$$$$0$$
$$ul66$$
$$4$$$$0$$
$$ul33$$
$$7$$

Also: $$7/11=0,bar63$$

• Die $$11$$ passt nicht in die $$7$$, also $$0$$.
• Schreibe eine $$0$$ hinter die $$7$$.
• $$11$$ passt $$6$$ mal in die $$70$$,   $$6*11=$$ $$66$$
• $$70-66=4$$, schreibe eine $$0$$ hinter die $$4$$.
• $$11$$ passt $$3$$ mal in die $$40$$,   $$3*11=$$ $$33$$.
• $$40-33=$$$$7$$ $$->$$ Ab hier ist es periodisch, da sich die $$7$$ wiederholt.

Oder andersherum. So wandelst du Dezimalbrüche in Brüche um:

Denke dir im Nenner eine $$1$$ und erweitere so lange, bis das Komma weg ist.

Beispiel:

• $$0,5=0,5/1=5/10=1/2$$

• $$0,bar63=0,63/0,99=63/99=7/11$$
  (Da die Dezimalzahl periodisch ist, nimmst du im Nenner die Zahl 0,99 und nicht 1)

Was sind irrationale Zahlen?

Irrationale Zahlen kannst du nicht wie rationale Zahlen als Bruch, periodische oder abbrechende Zahl darstellen.

Sie sind nicht-periodisch und unendlich.

Beispiele:

$$sqrt(2)=1,414213562…$$

$$1,41441444144441444441…$$

Irrationale Zahlen in ein Intervall schachteln

Mit der Intervallschachtelung kannst du irrationale Zahlen als Dezimalzahl darstellen, ohne die Wurzeltaste deines Taschenrechners zu benutzen.

Beispiel: $$sqrt(2)$$

1. Schritt: Das erste Intervall finden.

Zwischen welchen natürlichen Zahlen liegt $$sqrt(2)$$ ?

• Probiere es mit den Quadratzahlen $$1$$, $$4$$, $$9$$ und $$sqrt(2)^2$$ aus.
• Da $$1^2=1le2le2^2=4$$ liegt $$sqrt(2)$$ zwischen $$1$$ und $$2$$.
• Wähle immer das kleinste Intervall, in dem der Wert $$2$$ auch vorhanden ist. Also nicht etwa $$[1;9]$$, sondern eben $$[1;2]$$.

Die Intervallschachtelung enger wählen

Hinweis: Blau markierte Rechenschritte berechnest du mit dem Taschenrechner.

2. Schritt: Schachtele das Intervall weiter ein.

• Füge dazu eine Nachkommastelle an.
• Probiere mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(1,1)^2, (1,2)^2, (1,3)^2, … , (1,9)^2$$ die Zahl $$2$$ liegt.
• $$1,4lesqrt(2)le1,5$$ , weil $$(1,4)^2=1,96$$$$le2le$$$$(1,5)^2=2,25$$

3. Schritt: Zwei Nachkommastellen

• Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(1,41)^2,(1,42)^2,(1,43)^2,…,(1,49)^2$$ die Zahl $$2$$ liegt.
• $$1,41lesqrt(2)le1,42$$ ,
  weil $$(1,41)^2=1,9881$$$$le2le$$$$(1,42)^2=2,0164$$

4. Schritt: Drei Nachkommastellen

• Berechne mit dem Taschenrechner, zwischen welchen der Zahlen $$(1,411)^2,(1,412)^2,(1,413)^2,…,(1,419)^2$$ die Zahl $$2$$ liegt.
• $$1,414lesqrt(2)le1,415$$ ,
  weil $$(1,414)^2=1,999396$$$$le2le$$$$(1,415)^2=2,002225$$

So kannst du $$sqrt(2)$$ immer exakter einschachteln und bekommst einen Näherungswert.

Beweis durch Widerspruch: $$sqrt(2)$$ ist irrational

I. Behauptung: $$sqrt(2)$$ ist irrational

II. Annahme: $$sqrt(2)$$ ist rational (ist ein gekürzter Bruch)

Zu zeigen: Es entsteht ein Widerspruch.

Vorüberlegungen:

• Wenn du eine Zahl $$n$$ mit $$2$$ multiplizierst, so ist das Ergebnis eine gerade Zahl $$(2*n)$$.
• Ist das Quadrat einer Zahl gerade, so ist es auch die Zahl selbst. Beispiel: 64 ist gerade und 8 auch.
• Brüche kann man kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.

Beweis durch Widerspruch: $$sqrt(2)$$ ist irrational

Beweis durch Widerspruch: $$sqrt(2)$$ ist irrational

III. Das ist ein Widerspruch zur Annahme.

$$p$$ und $$q$$ haben doch einen gemeinsamen Teiler. Somit ist $$sqrt(2)$$ doch kein gekürzter Bruch.

IV. Die Annahme ist falsch, die Behauptung gilt.

Damit ist bewiesen: $$sqrt(2)$$ ist irrational.