Zahlenbereiche untersuchen - mit rationalen Zahlen
Welche Zahlenbereiche gibt es?
Zahlen kannst du je nach Art einem oder mehreren Zahlenbereichen zuordnen. Zahlenbereiche sind Mengen, die Zahlen einer Sorte enthalten.
Diese Zahlenbereiche gibt es:
- Natürliche Zahlen $$NN$$
- Ganze Zahlen $$ZZ$$
- Gebrochene Zahlen $$QQ_+$$
- Rationale Zahlen $$QQ$$
- Irrationale Zahlen
Was sind natürliche und ganze Zahlen?
Natürliche Zahlen $$NN$$
Der Zahlenbereich der natürlichen Zahlen $$NN$$ bildet das Zählen als natürlichen Prozess ab.
Die kleinste natürliche Zahl ist die $$0$$.
Die Menge der natürlichen Zahlen enthält alle Nachfolger der $$0$$ bis unendlich:
$$NN={0,1,2,3,4,…, n, n+1,…}$$ .
Wie kannst du mit natürlichen Zahlen rechnen?
Du darfst uneingeschränkt addieren und multiplizieren.
- Man sagt, $$NN$$ ist bezüglich der Addition und Multiplikation abgeschlossen.
- Alle anderen Rechenoperationen sind nicht uneingeschränkt durchführbar.
Ganze Zahlen $$ZZ$$
Erweiterst du den Zahlenbereich der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen, hast du die ganzen Zahlen:
- In der Menge der negativen Zahlen sind alle positiven und negativen Zahlen ohne Komma: $$ZZ={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}$$
- Nun kannst du auch uneingeschränkt subtrahieren.
Nachfolgerprinzip: Ist $$n$$ eine beliebige natürliche Zahl, dann ist $$n+1$$ ihr Nachfolger.
Beispiel: Die Zahl $$n=73$$ hat den Nachfolger $$n+1=74$$
Abgeschlossenheit: Das Ergebnis der Rechnung ist in derselben Menge, hier $$NN$$.
Beispiel:
- Addierst du zwei natürliche Zahlen, ist die Summe auch eine natürliche Zahl. $$4+3 = 7$$
- Rechnest du $$4:3$$, ist das Ergebnis keine natürliche Zahl, sondern ein Bruch $$4/3$$.
Was sind gebrochene und rationale Zahlen?
Gebrochene Zahlen $$QQ$$$$+$$
Willst du uneingeschränkt dividieren, brauchst du die Bruchzahlen.
- $$QQ$$$$+$$ enthält alle positiven Brüche
- $$QQ$$$$+$$$$=$$$${$$$$a/b|$$ $$a,b$$ sei eine natürliche Zahl und $$b!=0}$$
Rationale Zahlen $$QQ$$
Nimmst du die negativen Brüche hinzu, hast du die rationalen Zahlen.
- $$QQ={$$$$a/b|$$ $$a$$ sei eine ganze Zahl $$,b$$ sei eine natürliche Zahl und $$b!=0}$$
- In $$QQ$$ darfst du alle Grundrechenarten uneingeschränkt ausführen.
- $$QQ$$ enthält alle positiven und negativen Brüche, sowie alle abbrechenden Dezimalbrüche (z.B. $$-3,75$$) und periodischen Dezimalbrüche (z.B. $$0,66666…$$).
Einen Bruch schreibst du allgemein $$a/b$$.
Der Quotient aus zwei natürlichen Zahlen ist positiv.
Die Division durch Null ist in keinem Zahlenbereich erlaubt, deshalb $$b!=0$$.
$$a$$ kann negativ sein, so kann auch der Quotient negativ sein.
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Zahlenbereiche ineinander
Die Zahlenbereiche liegen ineinander.
Zum Beispiel ist die $$2$$ eine natürliche Zahl, eine ganze Zahl und eine rationale Zahl.
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