Bruchgleichungen lösen
Gleichungen mit Brüchen
Gleichungen kannst du auch lösen, wenn sie mit Brüchen gestellt werden.
Wenn $$x$$ im Zähler steht, ist nichts besonderes zu bedenken.
Beispiel:
$$x/3 +4 = 8$$
Wenn $$x$$ im Nenner steht, musst du bedenken, dass der Nenner nicht $$0$$ sein darf. Damit scheiden bestimmte Lösungen für $$x$$ aus.
Beispiel:
$$3/x = 4/9$$
Hier darf $$x$$ nicht den Wert $$0$$ annehmen.
In der Gleichung $$3/(x+1) = 4/9$$ darf $$x$$ nicht den Wert $$-1$$ annehmen.
Du hörst sicherlich oft von deiner Mathematiklehrkraft, dass man durch $$0$$ nicht dividieren darf. Tatsache ist, du kannst auch nicht durch $$0$$ dividieren. Es ist nicht eindeutig. Das liegt an der Umkehrfunktion.
$$0$$$$*$$$$0 = 0$$ aber $$0$$$$:$$$$0 = 0$$ ist falsch.
$$1$$$$*$$$$0 = 0$$ aber $$0$$$$:$$$$0 = 1$$ ist falsch.
$$2$$$$*$$$$0 = 0$$ aber $$0$$$$:$$$$0 = 2$$ ist auch falsch.
$$0:0$$ kann ja nicht verschiedene Ergebnisse liefern. Deswegen haben Mathematiker ausgeschlossen, dass du durch $$0$$ dividieren darfst.
So rechnest du: $$x$$ im Zähler
Hier siehst du die „Regieanweisung“ für Gleichungen
mit $$x$$ im Zähler:
$$x/9 = 3/13 |*9$$
$$x= 27 / 13 = 2 1/13$$
$$L = {2 1/13}$$
Umwandlung in die gemischte Schreibweise
Bei $$27/13$$ prüfst du erst, wie oft die $$13$$ in die $$27$$ passt. Das sind $$2$$ mal. Den Rest schreibst du als Bruch. $$27/13=2 1/13$$
So rechnest du: $$x$$ im Nenner
Zuerst bildest du immer den Kehrwert, damit $$x$$ in den Zähler kommt. Wenn du auf beiden Seiten den Kehrwert bildest, ändert sich an der Gleichheit nichts.
Beispiel:
$$9/x =3 /13$$ $$x$$ darf nicht $$0$$ sein.
$$9/x =3 /13$$ $$|$$ Kehrwert bilden
$$x/9 = 13/3 | *9$$
$$x=117/3 = 39$$
$$L = {39}$$
Der Kehrwert kommt als neue „Regieanweisung“ zum Gleichungslösen hinzu.
Die „Regieanweisung“ Kürzen kann in Aufgaben auch vorkommen, wenn du den Bruch kürzen kannst.
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Anwendungen mit Bruchgleichungen
Proportionale Zuordnungen
Wenn du eine Proportionale Zuordnung hast, kannst du eine Verhältnisgleichung aufstellen.
Beispiel:
4 Minimonster kosten $$3,20$$ $$€$$. Wie viel kosten $$7$$ Minimonster derselben Art?
Jetzt kannst du schreiben:
$$4$$ Minimonster = $$3,2$$ $$€$$
$$7$$ Minimonster = $$x$$ $$€$$
$$4/7 = 3,2 / x $$ $$|$$ Kehrwert
$$7/4 = x/3,2$$ $$| *3,2$$
$$22,5/4=x$$
$$5,6 = x$$
Antwort: $$7$$ Minimonster kosten $$5,60$$ $$€$$.
Gleiche Einheiten (hier Minimonster und $$€$$) stehen in Verhältnisgleichungen immer untereinander.
Sprechweise:
$$4$$ verhält sich zu $$7$$ genauso wie
$$3,20$$ $$€$$ zu $$x$$ $$€$$.
Es ergibt sich folgende Gleichung:
$$4/7 = 3,2 / x$$
Anwendungen mit Bruchgleichungen
Prozentaufgaben mit Verhältnisgleichungen lösen
Jede der drei Grundaufgaben der Prozentrechnung kannst du mit Verhältnisgleichungen lösen.
Beispiel:
In einer Klasse sind $$25$$ Schülerinnen und Schüler. $$8$$ Schülerinnen und Schüler tragen eine Brille. Wie viel $$%$$ sind das?
$$20$$ Schülerinnen und Schüler $$= 100$$ $$%$$
$$8$$ Schülerinnen und Schüler $$=$$ $$x$$ $$%$$
$$25 /8 = 100/x$$ $$|$$ Kehrwert
$$8/25 = x/100$$ $$|*100$$
$$800 / 25 = x$$
$$32 = x$$
Antwort: $$32$$ $$%$$ der Schülerinnen und Schüler tragen eine Brille.
Hier musst du wissen, dass $$25$$ Schülerinnen und Schüler $$100$$ $$%$$ sind.
Anwendungen mit Bruchgleichungen
Maßstabaufgaben mit Verhältnisgleichungen lösen
Wenn du Aufgaben mit dem Maßstab lösen sollst, hilft dir die Verhältnisgleichung.
Beispiel:
Bei einer Atlaskarte steht zum Beispiel $$1:10.000.000$$
Das bedeutet: $$1 cm$$ im Bild entspricht $$10.000.000$$ $$cm$$ in Wirklichkeit.
Jetzt misst du im Atlas eine Strecke von $$7,8$$ $$cm$$ zwischen zwei Städten als Luftlinie. Du sollst berechnen, wie weit die Städte in der Realität auseinander liegen.
Du stellst eine Verhältnisgleichung auf.
$$1 =10.000.000$$
$$7,8 = x$$
$$1/7,8 = (10.000.000)/x |$$ Kehrwert
$$7,8/1 = x / (10.000.000) |*10.000.000$$
$$78.000.000 = x $$
Antwort: Die Städte liegen $$780$$ $$km$$ auseinander.
$$10.000.000$$ $$cm = 100$$ $$km$$
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