Bruchgleichungen lösen
Gleichungen mit Brüchen
Gleichungen kannst du auch lösen, wenn sie mit Brüchen gestellt werden.
Wenn x im Zähler steht, ist nichts besonderes zu bedenken.
Beispiel:
x3+4=8
Wenn x im Nenner steht, musst du bedenken, dass der Nenner nicht 0 sein darf. Damit scheiden bestimmte Lösungen für x aus.
Beispiel:
3x=49
Hier darf x nicht den Wert 0 annehmen.
In der Gleichung 3x+1=49 darf x nicht den Wert -1 annehmen.
Du hörst sicherlich oft von deiner Mathematiklehrkraft, dass man durch 0 nicht dividieren darf. Tatsache ist, du kannst auch nicht durch 0 dividieren. Es ist nicht eindeutig. Das liegt an der Umkehrfunktion.
0⋅0=0 aber 0:0=0 ist falsch.
1⋅0=0 aber 0:0=1 ist falsch.
2⋅0=0 aber 0:0=2 ist auch falsch.
0:0 kann ja nicht verschiedene Ergebnisse liefern. Deswegen haben Mathematiker ausgeschlossen, dass du durch 0 dividieren darfst.
So rechnest du: x im Zähler
Hier siehst du die „Regieanweisung“ für Gleichungen
mit x im Zähler:
x9=313∣⋅9
x=2713=2113
L={2113}
Umwandlung in die gemischte Schreibweise
Bei 2713 prüfst du erst, wie oft die 13 in die 27 passt. Das sind 2 mal. Den Rest schreibst du als Bruch. 2713=2113
So rechnest du: x im Nenner
Zuerst bildest du immer den Kehrwert, damit x in den Zähler kommt. Wenn du auf beiden Seiten den Kehrwert bildest, ändert sich an der Gleichheit nichts.
Beispiel:
9x=313 x darf nicht 0 sein.
9x=313 ∣ Kehrwert bilden
x9=133 ∣⋅9
x=1173=39
L={39}
Der Kehrwert kommt als neue „Regieanweisung“ zum Gleichungslösen hinzu.
Die „Regieanweisung“ Kürzen kann in Aufgaben auch vorkommen, wenn du den Bruch kürzen kannst.
Noch nicht kapiert?
kapiert.dekann mehr:
- interaktive Übungen
und Tests - individueller Klassenarbeitstrainer
- Lernmanager
Anwendungen mit Bruchgleichungen
Proportionale Zuordnungen
Wenn du eine Proportionale Zuordnung hast, kannst du eine Verhältnisgleichung aufstellen.
Beispiel:
4 Minimonster kosten 3,20 €. Wie viel kosten 7 Minimonster derselben Art?
Jetzt kannst du schreiben:
4 Minimonster = 3,2 €
7 Minimonster = x €
47=3,2x ∣ Kehrwert
74=x3,2 ∣⋅3,2
22,54=x
5,6=x
Antwort: 7 Minimonster kosten 5,60 €.
Gleiche Einheiten (hier Minimonster und €) stehen in Verhältnisgleichungen immer untereinander.
Sprechweise:
4 verhält sich zu 7 genauso wie
3,20 € zu x €.
Es ergibt sich folgende Gleichung:
47=3,2x
Anwendungen mit Bruchgleichungen
Prozentaufgaben mit Verhältnisgleichungen lösen
Jede der drei Grundaufgaben der Prozentrechnung kannst du mit Verhältnisgleichungen lösen.
Beispiel:
In einer Klasse sind 25 Schülerinnen und Schüler. 8 Schülerinnen und Schüler tragen eine Brille. Wie viel % sind das?
20 Schülerinnen und Schüler =100 %
8 Schülerinnen und Schüler = x %
258=100x ∣ Kehrwert
825=x100 ∣⋅100
80025=x
32=x
Antwort: 32 % der Schülerinnen und Schüler tragen eine Brille.
Hier musst du wissen, dass 25 Schülerinnen und Schüler 100 % sind.
Anwendungen mit Bruchgleichungen
Maßstabaufgaben mit Verhältnisgleichungen lösen
Wenn du Aufgaben mit dem Maßstab lösen sollst, hilft dir die Verhältnisgleichung.
Beispiel:
Bei einer Atlaskarte steht zum Beispiel 1:10.000.000
Das bedeutet: 1cm im Bild entspricht 10.000.000 cm in Wirklichkeit.
Jetzt misst du im Atlas eine Strecke von 7,8 cm zwischen zwei Städten als Luftlinie. Du sollst berechnen, wie weit die Städte in der Realität auseinander liegen.
Du stellst eine Verhältnisgleichung auf.
1=10.000.000
7,8=x
17,8=10.000.000x ∣ Kehrwert
7,81=x10.000.000 ∣⋅10.000.000
78.000.000=x
Antwort: Die Städte liegen 780 km auseinander.
10.000.000 cm=100 km
Noch nicht kapiert?
kapiert.dekann mehr:
- interaktive Übungen
und Tests - individueller Klassenarbeitstrainer
- Lernmanager
Gleichungen mit dem Formel-Editor
So gibst du Zahlen und Variablen in kapiert.de ein:
kapiert.de passt zu deinem Schulbuch!
Buchreihen Mathematik mein Schulbuch suchen
