Einfache nicht-lineare Gleichungen lösen
Was ist eine Potenzgleichung?
Eine Gleichung der Form ax2+b=c heißt Potenzgleichung.
An der Stelle, wo die Hochzahl 2 steht, kann jede beliebige natürliche Zahl stehen. Dich interessieren erst einmal nur die Fälle x2 und x3.
Beim Lösen dieser Gleichungen gehst du vor, wie immer, bis du am Ende der Umformung x2= … oder x3= … stehen hast.
Das Malnehmen einer Zahl mit sich selbst nennt sich Potenzieren. x⋅x=x2 oder x⋅x⋅x=x3
Daher der Name der Gleichung.
Die Hochzahl heißt Exponent.
Potenzgleichungen mit x2
Einfaches Beispiel:
x2=9
Du überlegst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert 9 ergibt.
x=3
Allerdings ist die 3 nicht die einzige Lösung, denn auch -3 geht.
x=-3
Probe:
3⋅3=9 und (-3)⋅(-3)=9.
Die Lösungsmenge enthält zwei Zahlen.
L={-3;3}
Im Laufe deiner Mathematik-Karriere wirst du in diesem Fall die zweite Wurzel ziehen:
x2=9 ∣√
Potenzgleichungen mit x3
Einfaches Beispiel:
x3=27
Du überlegst, welche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert 27 ergibt.
3⋅3⋅3=27
x=3
Die Lösungsmenge lautet L={3}.
Oder geht -3 auch? Nein, 3 ist die einzige Lösung.
Denn (-3)⋅(-3)⋅(-3)=-27.
Du weißt jetzt sofort, was die Lösung für die Gleichung x3=-27 ist.
Die Lösungsmenge ist L={-3}.
Im Laufe deiner Mathematik-Karriere wirst du in diesem Fall die dritte Wurzel ziehen:
x3=27 ∣3√
Du erkennst die 3. Wurzel an der kleinen Drei oben links.
x2 und negative Zahlen
Bei Gleichungen der Form x2=-9 kannst du gleich hinschreiben, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.
Die Lösungsmenge ist leer: L={ }.
Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
+⋅+=+
-⋅-=+
Eine komplexe Potenzgleichung lösen
3x⋅(x-1)+5+3x=17 ∣ Klammer auflösen
3x2-3x+5+3x=17 ∣ Zusammenfassen
3x2+5=17 ∣-5
3x2=12 ∣:3
x2=4 ∣ Überlege
Welche Zahl/en ergeben mit sich selbst multipliziert 4 ?
x=2 und x=-2
L={-2;2}
+⋅+=+
-⋅-=+
Gleichungen mit x2 und x
x2-2x=3
Teile die Gleichung so auf:
x2-2x=3 ∣+2x
x2 steht allein auf einer Seite.
x2=2x+3
Löse durch Probieren und erstelle eine Tabelle:
Setze Zahlen ein, die dir sinnvoll erscheinen. x2 kann nur die Quadratzahlen {1,4,9,16,25,36,49,…} einnehmen.
| Prüfzahl | x2 | 2x+3 |
|---|---|---|
| -1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 3 |
| 1 | 1 | 5 |
| 2 | 4 | 7 |
| 3 | 9 | 9 |
Die Zahlen -1 und 3 sind die Lösungen.
L={-1;3}
Diese Aufgabe löst du später mit einer Formel oder grafisch. Jetzt haben solche Gleichungen immer ganze Zahlen als Lösung.
Die Zahlen 1 und -3 sind keine Lösungen.
Gleichungen mit Betragsstrichen
Mathematische Darstellung
|x|=2
Es gibt zwei Fälle, die gesondert betrachtet werden.
1. Fall: positiv
x=2
2. Fall: negativ
x=-2
Die Lösungsmenge ist L={-2;2}.
Herzliche Darstellung ☺
∣♥∣=2
Es gibt zwei Möglichkeiten:
♥ liebt mich ODER ♥ liebt mich nicht
(für mich positiv) (für mich negativ)
„♥ liebt mich“ ergibt die Gleichung ♥ =2
„♥ liebt mich nicht“ ergibt die Gleichung ♥ =-2
Die Lösungsmenge L={-2;2} bedeutet:
- Das Leben geht mit ♥ weiter.
- Das Leben geht ohne ♥ weiter.
Der Betrag ist der Abstand einer Zahl zur 0.
|2|=2 und |-2|=2
Also gilt auch |2|=|-2|
Dasselbe gilt für Variablen:
|x|=x und |-x|=x
Also |x|=|-x|
Gleichungen der Art |x|=-2 haben keine Lösung. L={ }
Im Betrag steht nicht nur ein x ?
Auch dann gibt zwei Fälle.
Beispiel: |x-4|=9
1. Fall: x-4=9 ∣+4
x=13
2. Fall: x-4=-9 ∣+4
x=-5
1. Probe:
|13–4|=9
|9|=9
9=9
2. Probe:
|-5–4|=9
|-9|=9
9=9
Die Lösungsmenge ist L={13;-5}.
Es muss nicht immer eine negative und eine positive Lösung geben.
Die Gleichung ∣♥-5∣=1 hat die Lösungsmenge L={4;6}.
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