Einfache nicht-lineare Gleichungen lösen
Was ist eine Potenzgleichung?
Eine Gleichung der Form $$ax^2+b=c$$ heißt Potenzgleichung.
An der Stelle, wo die Hochzahl $$2$$ steht, kann jede beliebige natürliche Zahl stehen. Dich interessieren erst einmal nur die Fälle $$x^2$$ und $$x^3$$.
Beim Lösen dieser Gleichungen gehst du vor, wie immer, bis du am Ende der Umformung $$x^2=$$ … oder $$x^3=$$ … stehen hast.
Das Malnehmen einer Zahl mit sich selbst nennt sich Potenzieren. $$x*x=x^2$$ oder $$x*x*x=x^3$$
Daher der Name der Gleichung.
Die Hochzahl heißt Exponent.
Potenzgleichungen mit $$x^2$$
Einfaches Beispiel:
$$x^2=9$$
Du überlegst, welche Zahl mit sich selbst multipliziert $$9$$ ergibt.
$$x=3$$
Allerdings ist die 3 nicht die einzige Lösung, denn auch $$-3$$ geht.
$$x=-3$$
Probe:
$$3*3=9$$ und $$(-3)*(-3)=9$$.
Die Lösungsmenge enthält zwei Zahlen.
$$L={-3;3}$$
Im Laufe deiner Mathematik-Karriere wirst du in diesem Fall die zweite Wurzel ziehen:
$$x^2=9$$ $$|sqrt($$
Potenzgleichungen mit $$x^3$$
Einfaches Beispiel:
$$x^3=27$$
Du überlegst, welche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert $$27$$ ergibt.
$$3*3*3=27$$
$$x=3$$
Die Lösungsmenge lautet $$L={3}$$.
Oder geht $$-3$$ auch? Nein, $$3$$ ist die einzige Lösung.
Denn $$(-3)*(-3)*(-3)=-27$$.
Du weißt jetzt sofort, was die Lösung für die Gleichung $$x^3=-27$$ ist.
Die Lösungsmenge ist $$L={-3}$$.
Im Laufe deiner Mathematik-Karriere wirst du in diesem Fall die dritte Wurzel ziehen:
$$x^3=27$$ $$|root 3()$$
Du erkennst die 3. Wurzel an der kleinen Drei oben links.
$$x^2$$ und negative Zahlen
Bei Gleichungen der Form $$x^2=-9$$ kannst du gleich hinschreiben, dass die Gleichung keine Lösung besitzt.
Die Lösungsmenge ist leer: $$L={$$ $$}$$.
Es gibt keine Zahl, die mit sich selbst multipliziert eine negative Zahl ergibt.
$$+*+=+$$
$$-*- =+$$
Eine komplexe Potenzgleichung lösen
$$3x*(x-1)+5+3x=17$$ $$|$$ Klammer auflösen
$$3x^2-3x+5+3x=17$$ $$|$$ Zusammenfassen
$$3x^2+5=17$$ $$|-5$$
$$3x^2=12$$ $$| :3$$
$$x^2=4$$ $$|$$ Überlege
Welche Zahl/en ergeben mit sich selbst multipliziert $$4$$ ?
$$x=2$$ und $$x=-2$$
$$L={-2;2}$$
$$+*+=+$$
$$-*- =+$$
Gleichungen mit $$x^2$$ und $$x$$
$$x^2-2x=3$$
Teile die Gleichung so auf:
$$x^2-2x=3$$ $$|+2x$$
$$x^2$$ steht allein auf einer Seite.
$$x^2=2x+3$$
Löse durch Probieren und erstelle eine Tabelle:
Setze Zahlen ein, die dir sinnvoll erscheinen. $$x^2$$ kann nur die Quadratzahlen $${1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …}$$ einnehmen.
| Prüfzahl | $$x^2$$ | $$2x+3$$ |
|---|---|---|
| $$-1$$ | $$1$$ | $$1$$ |
| $$0$$ | $$0$$ | $$3$$ |
| $$1$$ | $$1$$ | $$5$$ |
| $$2$$ | $$4$$ | $$7$$ |
| $$3$$ | $$9$$ | $$9$$ |
Die Zahlen $$-1$$ und $$3$$ sind die Lösungen.
$$L={-1;3}$$
Diese Aufgabe löst du später mit einer Formel oder grafisch. Jetzt haben solche Gleichungen immer ganze Zahlen als Lösung.
Die Zahlen $$1$$ und $$-3$$ sind keine Lösungen.
Gleichungen mit Betragsstrichen
Mathematische Darstellung
$$|x|=2$$
Es gibt zwei Fälle, die gesondert betrachtet werden.
1. Fall: positiv
$$x=2$$
2. Fall: negativ
$$x=-2$$
Die Lösungsmenge ist $$L={-2;2}$$.
Herzliche Darstellung ☺
$$|$$♥$$|=2$$
Es gibt zwei Möglichkeiten:
♥ liebt mich ODER ♥ liebt mich nicht
(für mich positiv) (für mich negativ)
„♥ liebt mich“ ergibt die Gleichung ♥ $$=2$$
„♥ liebt mich nicht“ ergibt die Gleichung ♥ $$=-2$$
Die Lösungsmenge $$L={-2;2}$$ bedeutet:
- Das Leben geht mit ♥ weiter.
- Das Leben geht ohne ♥ weiter.
Der Betrag ist der Abstand einer Zahl zur $$0$$.
$$|2|=2$$ und $$|-2|=2$$
Also gilt auch $$|2|=|-2|$$
Dasselbe gilt für Variablen:
$$|x|=x$$ und $$|-x|=x$$
Also $$|x|=|-x|$$
Gleichungen der Art $$|x|=-2$$ haben keine Lösung. $$L={$$ $$}$$
Im Betrag steht nicht nur ein $$x$$ ?
Auch dann gibt zwei Fälle.
Beispiel: $$|x-4|=9$$
1. Fall: $$x-4=9$$ $$|+4$$
$$x=13$$
2. Fall: $$x-4=-9$$ $$|+4$$
$$x=-5$$
1. Probe:
$$|13–4|=9$$
$$|9|=9$$
$$9=9$$
2. Probe:
$$|-5–4|=9$$
$$|-9|=9$$
$$9=9$$
Die Lösungsmenge ist $$L={13;-5}$$.
Es muss nicht immer eine negative und eine positive Lösung geben.
Die Gleichung $$|$$♥$$-5|=1$$ hat die Lösungsmenge $$L= {4;6}$$.
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