3. binomische Formel anwenden
Die 3. binomische Formel
Aller guten Dinge sind DREI!!
Die 1. und 2. binomische Formel kennst du bereits, hier lernst du die 3. binomische Formel kennen.
(Ein kleiner Trost: Mehr werden es nicht.:-))
Die 3. binomische Formel:
$$(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$$
Beispiele:
$$(2x+3y)*(2x-3y)=4x^2-9y^2$$
$$64-b^2=(8+b)*(8-b)^2$$
Für a und b kannst du alle möglichen Zahlen einsetzen. Die Formel gilt auch für Produkte oder Brüche oder andere Buchstaben.
Die beiden Klammern (a+b) und (a-b) dürfen sich NUR im Rechenzeichen unterschieden damit die 3. binomische Formel gilt!!
Erste Beispiele
Beispiel 1
$$(a + 3)*(a - 3) = a^2 - 3^2$$
$$=a^2 - 9$$
Beispiel 2
$$(x + 0,5)*(x - 0,5) = x^2 - 0,5^2$$
$$=x^2 - 0,5*0,5$$
$$=x^2 - 0,25$$
Beispiel 3
$$(2/3 + z)*(2/3 - z) = (2/3)^2 - z^2$$
$$=(2*2)/(3*3) - z^2$$
$$=4/9-z^2$$
Du quadrierst einen Bruch, indem du den Zähler mal Zähler rechnest und den Nenner mal Nenner.
Schwierigere Beispiele
Beispiel 1
$$(2a + 5c)*(2a - 5c) = (2a)^2 - (5c)^2$$
$$=(2*2*a*a) -(5*5*c*c)$$
$$=4a^2 -25b^2$$
Beispiel 2 mit Minus als Vorzeichen
$$(-q + 2f)*(-q - 2f) = (-q)^2 - (2f)^2$$
$$=(-q)*(-q) - (2*2*f*f)$$
$$=q^2 - 4f^2$$
Beispiel 3 mit Brüchen
$$(1/3x + 3/2y)*(1/3x- 3/2y) = (1/3x)^2 - (3/2y)^2$$
$$=(1*1)/(3*3)*x*x - (3*3)/(2*2)*y*y$$
$$=1/9x^2-9/4y^2$$
Bei zusammengesetzten Ausdrücken wie $$(2a)^2$$ multiplizierst du beide Faktoren mit sich selbst:
$$(2a)^2=2a*2a=2*2*a*a=4a^2$$
Minus mal minus wird plus
$$(-a)^2=(-a)*(-a)=a^2$$
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Warum geht das so??
Du kannst dir auch die 3. binomische Formel selbst herleiten. Multipliziere einfach aus.
$$(a+b)*(a-b)=(a*a)+(a*(-b))+(b*a)+(b*(-b))$$
$$=a^2 -ab +ab -b^2$$
$$=a^2 - b^2$$
Ausmultiplizieren = Klammern auflösen $$rarr$$ Vorzeichen nicht vergessen!
$$a*(-b)=-a*b=-ab$$
Eine Anwendung für die 3. binomische Formel
In einigen Fällen kann dir die 3. binomische Formel helfen, Produkte von großen Zahlen im Kopf zu berechnen.
Beispiel 1
$$32*28 = (30+2)*(30-2)$$
$$=30^2-2^2$$
$$=900-4$$
$$=896$$
Beispiel 2 mit noch größeren Zahlen
$$430*370= (400+30)*(400-30)$$
$$=400^2 - 30^2$$
$$=160000 - 900$$
$$=159100$$
Hättest du gedacht, dass du das im Kopf rechnen kannst?
Zahlen, die auf eine oder mehrere Nullen enden, kannst du quadrieren, indem du die Zahl vor der Null quadrierst und die doppelte Anzahl an Nullen an das Quadrat anhängst:
z.B. $$500^2=250000$$
Also eine 25 ($$5^2$$) mit 4 angehängten 0000.
Auf die Reihenfolge kommt es an
Die 3. binomische Formel gilt auch, wenn du die beiden Klammern vertauschst
$$(a-b)*(a+b)=(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$$
Du darfst aber NICHT die Reihenfolge der Quadrate vertauschen.
$$(a+b)*(a-b)!=b^2-a^2$$
Du kannst dies an einem einfachen Beispiel sehen:
$$(5+3)*(5-3)=5^2-3^2=25-9=16$$
$$!=3^2-5^2=9-25=-16$$
Wenn du zuerst die Klammer ausrechnest, kannst du eine Probe ganz ohne binomische Formel machen:
$$(5+3)*(5-3)=8*2=16$$
Beim Malrechnen darfst du die Reihenfolge verändern, aber nicht beim Minusrechnen.
Bei der 3.binomischen Formel ziehst du immer das Quadrat des zweiten Summanden vom Quadrat des ersten Summanden ab!!
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Tipps und Tricks
Bei der 3. binomischen Formel musst du oft genau hinsehen. Es kann sein, dass du den Term erst etwas umstellen musst, ehe du die Formel erkennen kannst.
Beispiele
$$(a+b)*(-b+a)=(a+b)*(a-b)=a^2-b^2$$
$$(b-x)*(b+x)=(b+x)*(b-x)=b^2-x^2$$
$$(-a+b)*(a+b)=(b-a)*(b+a)$$
$$=(b+a)*(b-a)=b^2-a^2$$
Nicht alle Terme kannst du erfolgreich umformen.
Ein Beispiel, bei dem du die 3. binomische Formel nicht anwenden kannst:
$$(-a+b)*(a-b)=(b-a)*(a-b)$$
Wichtig ist, dass sich die beiden Klammern nur im Rechenzeichen unterscheiden.
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