Alltag: Lehrer in der Schule

Aufgabe: In einer Schule gibt es insgesamt $$83$$ Lehrkräfte. Es gibt $$13$$ Lehrer mehr als Lehrerinnen. Wie viele Lehrer und wie viele Lehrerinnen arbeiten an der Schule?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

x: Anzahl der Lehrerinnen

Demnach gibt es $$(x + 13)$$ Lehrer.

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$x + (x+13) = 83$$

(3) Löse die Gleichung.

$$x + (x+13) = 83$$ | Klammern auflösen

$$x + x+13 = 83$$ | zusammenfassen

$$2x + 13 = 83$$ | $$-13$$

$$2x = 70$$ | $$:2$$

$$x = 35$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 35$$ für die Anzahl der Lehrerinnen ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Es arbeiten $$35$$ Lehrerinnen und $$48$$ Lehrer ($$13$$ mehr Lehrer als Lehrerinnen) an der Schule.

Alltag: Theaterbesuch

Aufgabe: Du gehst mit deinen Freunden, deren Eltern und deinen Eltern ins Kino. Insgesamt seid ihr $$21$$ Personen. Die Kinokarte kostet für Erwachsene $$9$$ €, für Schüler/innen gibt es zwei Euro Ermäßigung. Insgesamt gebt ihr $$165$$ € aus. Wie viele Erwachsene und wie viele Schüler/innen sind in deiner Gruppe?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: Anzahl der Erwachsenen

Demnach sind in deiner Gruppe $$(21-x)$$ Schüler/innen.

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$9x + 7*(21 - x) = 165$$

(3) Löse die Gleichung.

$$9x + 7(21 - x) = 165$$ | Klammern auflösen

$$9x + 147 - 7x = 165$$ | zusammenfassen

$$2x + 147 = 165$$ | $$-147$$

$$2x = 18$$ | $$:$$$$2$$

$$x = 9$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 9$$ für die Anzahl der Erwachsenen ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Es sind $$9$$ Erwachsene und $$12$$ ($$= 21 - 9$$) Schüler/innen in der Gruppe.

Zahlenrätsel

Aufgabe: Christian sagt zu Julia: „Ich kann hellsehen. Denk dir eine Zahl und addiere $$8$$. Multipliziere das Ergebnis mit $$5$$ und ziehe deine gedachte Zahl ab. Teile das Ergebnis durch $$4$$, und nenne mir die Zahl, die du erhältst.“
Julia denkt sich die Zahl $$6$$. Nach Durchführung der Rechenschritte ist ihr Ergebnis $$16$$. Das sagt sie Christian. Der sagt sofort: „Du hast dir die $$6$$ gedacht. Denn dein Ergebnis muss $$10$$ mehr sein als deine gedachte Zahl.“
Stimmt das?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: die von Julia gedachte Zahl

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$((x+8)*5-x):4=x+10$$

(3) Löse die Gleichung.

Klammern auflösen (von innen nach außen)

$$(5x+40-x):4=x+10$$

$$(4x+40):4=x+10$$

$$x+10=x+10$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

Diese Aussage ist immer richtig, also gilt die Gleichung für alle rationalen Zahlen.

(5) Beantworte die Frage.

Ja, Christians Aussage ist richtig.

Altersrätsel

Aufgabe: Christian und seine Mutter sind zusammen $$56$$ Jahre alt. In $$14$$ Jahren ist Christians Mutter doppelt so alt wie ihr Sohn. Wie alt ist Christian heute?

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: Christians Alter in Jahren

Demnach ist die Mutter heute $$(56 - x)$$ Jahre alt.

Christians Alter in $$14$$ Jahren: $$x + 14$$

Alter der Mutter in $$14$$ Jahren: $$(56 - x) + 14$$

(2) Stelle eine Gleichung auf.

$$2(x + 14) = (56 - x) + 14$$

(3) Löse die Gleichung.

$$2(x + 14) = (56 - x) + 14$$ | Klammern auflösen

$$2x + 28 = 56 - x + 14$$ | zusammenfassen

$$2x + 28 = 70 - x$$ | $$+ x$$

$$3x + 28 = 70$$ | $$- 28$$

$$3x = 42$$ | $$:$$$$3$$

$$x = 14$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 14$$ für Christians Alter ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Christian ist heute $$14$$ Jahre alt.

Geometrie

Aufgabe: In einem Dreieck ist Winkel $$beta$$ doppelt so groß wie Winkel $$alpha$$. Winkel $$gamma$$ ist $$20°$$ größer als Winkel $$alpha$$. Berechne die Größe der drei Winkel.

(1) Bestimme, wofür die Variable steht.

$$x$$: Winkel $$alpha$$

Demnach gilt:

$$2x$$: Winkel $$beta$$

$$x + 20$$: Winkel $$gamma$$

(2) Stelle eine Gleichung auf.

Die Winkelsumme im Dreieck beträgt $$180°$$.

$$x + (2x) + (x + 20) = 180$$

(3) Löse die Gleichung.

$$x + (2x) + (x + 20) = 180$$ | Klammern auflösen

$$x + 2x + x + 20 = 180$$ | zusammenfassen

$$4x + 20 = 180$$ | $$-20$$

$$4x = 160 $$ | $$:$$$$4$$

$$x = 40$$

(4) Prüfe, ob dein Ergebnis zur Aufgabenstellung passt.

$$x = 40°$$ als Winkelgröße für $$alpha$$ ist realistisch.

(5) Beantworte die Frage.

Die Winkelgrößen in dem Dreieck sind wie folgt:

$$alpha = 40°$$, $$beta = 80°$$ (doppelt so groß wie $$alpha$$), $$gamma = 60°$$ ($$20°$$ mehr als $$alpha$$).

Kontrolle: $$40° + 80° + 60° = 180°$$