Lineare Gleichungen lösen 1
Das Waage-Modell
So löst du lineare Gleichungen mit dem Waagemodell:
Gleichungen mit dem Waage-Modell lösen
Bei einer Gleichung hast du immer die eckigen Gewichtsstücke und die Kugeln. Statt „eckiges Gewichtsstück“ kannst du auch $$x$$-Box sagen. Von den $$x$$-Boxen kennst du das Gewicht noch nicht.
Die Boxen und Kugeln werden entsprechend einer Gleichung auf zwei Waagschalen verteilt.
Die Waage soll immer im Gleichgewicht bleiben.
Ziel: Wie schwer ist eine $$x$$-Box?
Beispiel: $$2*x+5=11$$
1. Fülle die Waage entsprechend der Gleichung.
$$2*x+5=11$$
2. Nimm aus beiden Waagschalen fünf Kugeln weg.
Die Waage bleibe im Gleichgewicht.
$$2*x=6$$
3. Da du wissen willst, wie schwer eine Box ist, nimmst du auf jeder Seite den zweiten Teil (geteilt durch 2).
$$x=3$$ ist die Lösung der Gleichung.
$$L={3}$$ ist die Lösungsmenge.
Probe
Wenn du wissen willst, ob eine Box tatsächlich 3 kg wiegt, kannst du 3 kg für jede Box einsetzen.
$$x$$-Boxen sind alle gleich schwer
1 - kg - Kugeln
Gleichungen durch Äquivalenzumformung lösen
Irgendwann brauchst du das Waage-Modell gar nicht mehr und rechnest einfach so:
$$2*x+5=11$$ $$|-5$$
Du rechnest zuerst auf beiden Seiten der Gleichung $$-$$ $$5$$.
$$2*x+5-5=11-5$$
$$2*x=6$$ $$| :2$$
$$2:2*x=6:2$$
$$x=3$$
$$L={3}$$
In der Kurzfassung lässt du die blauen Schritte weg.
Probe:
Setze $$3$$ für $$x$$ ein. Steht auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe?
$$2$$ $$*$$ $$3$$ $$+$$ $$5=11$$
$$11=11$$ Ja!
Du formst eine Gleichung um, indem du auf beiden Seiten
- dieselbe Zahl addierst oder subtrahierst
- mit derselben Zahl multiplizierst oder dividierst (die 0 ist dabei ausgenommen)
Denke immer daran, dass du auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe rechnest.
Das sind Äquivalenzumformungen, sie ändern nichts an der Lösung der Gleichung.
Der Strich $$|$$ ist wie die Regieanweisung: „Tu auf beiden Seiten dasselbe!“ zu verstehen. Die Lösung der Gleichung wird dann nicht verändert.
Schwierigere Gleichungen
Manche Gleichungen haben fiese Minuszeichen. Diese Gleichungen löst du so:
$$-3*x–7=20$$ $$|+7$$
$$-3*x–7+7=20+7$$
$$-3*x=27$$ $$| :(-3)$$
$$-3:(-3)*x=27:(-3)$$
$$x=-9$$
$$L={-9}$$
Mit etwas Übung kannst du die blauen Schritte weglassen.
Die Probe führst du hier rechnerisch durch. Setze $$(-9)$$ für $$x$$ ein.
Steht auf beiden Seiten der Gleichung wirklich dasselbe?
$$-3$$ $$*$$ $$(-9)$$ $$-7=20$$
$$27-7=20$$
$$20=20$$ JA!
Kennst du schon das Zahlenstrahl-Modell?
Bei dem Zahlenstrahl-Modell trägst du die Gleichung wie im Bild ein.
Beispiel: $$2*x+5=11$$
- $$11$$ ist der Ausgangswert deiner Gleichung.
- Wenn du $$-$$ $$5$$ rechnest, wandert die Gleichung um $$5$$ Schritte nach links.
- Wenn du durch $$2$$ teilst, hast du $$x$$ allein stehen.
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