Lineare Gleichungen lösen 2
Das Waage-Modell
Das Waage-Modell kannst du für das Lösen von Gleichungen durch Umformen benutzen. Es funktioniert auch, wenn $$x$$ auf beiden Seiten der Gleichung auftaucht.
Du hast Kugeln, die alle 1 kg wiegen. Außerdem hast du gleichschwere $$x$$-Boxen. Von ihnen kennst du das Gewicht noch nicht.
Du verteilst Boxen und Kugeln entsprechend einer Gleichung auf zwei Waagschalen.
Die Waage soll immer im Gleichgewicht bleiben.
Ziel: Wie schwer ist eine $$x$$-Box?
Beispiel: $$6*x+3=2*x+11$$
links: 6 $$x$$-Boxen, 3 Kugeln
rechts: 2 $$x$$-Boxen, 11 Kugeln
Bisher: $$x$$ auf einer Seite
$$2x+3=5$$
Jetzt: $$x$$ auf beiden Seiten
$$7x+5=2x-4$$
$$x$$-Boxen sind alle gleich schwer
1 - kg - Kugeln
Jetzt wird umgeformt
$$6*x+3=2*x+11$$
$$6*x+3=2*x+11$$ $$|-2*x$$
Du nimmst aus beiden Waagschalen zwei $$x$$-Boxen weg. Die Waage hängt weiter im Gleichgewicht.
Ab jetzt verfährst du, wie bekannt und entfernst drei Kugeln auf jeder Seite.
$$4*x+3=11$$ $$|-3$$
Du bildest auf jeder Seite den vierten Teil, rechnest also : 4.
$$4*x=8$$ $$|$$ $$:$$$$4$$
Eine $$x$$-Box wiegt 2 kg.
$$x=2$$
$$L={2}$$
Die Probe im Waage-Modell machen
Zum Schluss machst du immer die Probe, ob dein Ergebnis stimmt.
$$6*x+3=2*x+11$$
$$6*2+3=2*2+11$$
Wenn du für jede $$x$$-Box drei Kugeln auf die Waage legst, sind auf jeder Seite der Waage $$15$$ Kugeln.
$$15=15$$
Ohne Waage-Modell Gleichungen lösen
So löst du Gleichungen mit $$x$$ auf beiden Seiten rechnerisch:
$$6*x+3=2*x+11$$ $$|-2*x$$
$$6*x-2*x+3=2*x-2*x+11$$
$$4*x+3=11$$ $$|-3$$
$$4*x+3-3=11-3$$
$$4*x=8$$ $$| :4$$
$$4*x:4=8:4$$
$$x=2$$
$$L={2}$$
Probe:
Überall dort, wo $$x$$ steht, setzt du die Lösung $$2$$ ein.
$$6$$ $$*$$ $$x$$ $$+3=2$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$11$$
$$6$$ $$*$$ $$2$$ $$+3=2$$ $$*$$ $$2$$ $$+$$ $$11$$
$$12+3=4+11$$
$$15=15$$ Ja, $$2$$ löst die Gleichung.
Der Strich $$|$$ ist die Regieanweisung: „Tu auf beiden Seiten dasselbe!“.
Die blauen Zwischenschritte kannst du später weglassen.
Schwierigere Gleichungen
Bei langen Gleichungen ist es leichter, wenn du zuerst gleiches zusammenfasst.
Beispiel:
$$4x+6+7x+1=16x+3-9*x$$ $$|$$ zusammenfassen
$$11x+7=7x+3$$ $$|-7*x$$
$$4x+7=3$$ $$|-7$$
$$4x=-4$$ $$|$$ $$:$$$$4$$
$$x=-1$$
$$L={-1}$$
Probe:
Überall dort, wo $$x$$ steht, setzt du die Lösung $$(-1)$$ ein.
$$4$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$6$$ $$+$$ $$7$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$1=16$$ $$*$$ $$x$$ $$+$$ $$3$$ $$-$$ $$9$$ $$*$$ $$x$$
$$4$$ $$*$$ $$(-1)$$ $$+$$ $$6$$ $$+$$ $$7$$ $$*$$ $$(-1)$$ $$+$$ $$1=16$$ $$*$$ $$(-1)$$ $$+$$ $$3$$ $$-$$ $$9$$ $$*$$ $$(-1)$$
$$-4+6-7+1=-16+3+9$$
$$-11+7=-16+12$$
$$-4=-4$$ Ja, $$(-1)$$ passt.
Den Malpunkt $$*$$ zwischen Zahl und Variable kannst du weglassen.
Rechenregeln für die Multiplikation mit negativen Zahlen
$$-*- =+$$
$$-*+ =-$$
Was machst du, wenn die Gleichung eine Klammer hat?
Löse immer zuerst die Klammer auf.
Beispiel 1:
$$2*(-5+x)=2$$ $$|$$ Klammer auflösen
$$-10+2x=2$$ $$|+10$$
$$2x=12$$ $$| :2$$
$$x=6$$
$$L={6}$$
Probe:
Setze für $$x$$ die Lösung 6 ein.
$$2*(-5$$ $$+$$ $$6$$ $$)=2$$
$$2=2$$
Beispiel 2:
$$-3*(x-6)+6x=-3+6x$$ $$|$$ Klammer auflösen
$$-3x+18+6x=-3+6x$$ $$|$$ zusammenfassen
$$3x+18=-3+6x$$ $$|-6x$$
$$-3x+18=-3$$ $$|-18$$
$$-3x=-21$$ $$| :(-3)$$
$$x=7$$
$$L={7}$$
Probe:
Setze für $$x$$ die Lösung $$7$$ ein.
$$-3$$ $$*$$ $$($$$$7$$ $$-$$ $$6)$$ $$+$$ $$6$$ $$*$$ $$7$$ $$=-3$$ $$+$$ $$6$$ $$*$$ $$7$$
$$-3*1+42=-3+42$$
$$39=39$$
Um die Gleichung zu vereinfachen, kannst du auch als erstes die Äquivalenzumformung $$|$$ $$-6*x$$ rechnen.
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