Modellieren mit linearen Gleichungssystemen

Damit du beim Lösen von Anwendungsaufgaben nicht den Überblick verlierst, kannst du folgende Schrittfolge nutzen.

1.Schritt:Aufgabeerfassen

Analysiere den Aufgabentext. Worum geht es?
Fertige eine Skizze an.

Bestimme Gegebenes und Gesuchtes.

2. Schritt: Aufgabe in die mathematische Sprache übersetzen

a) Lege fest, was die Variablen sind (meist $$x$$ und $$y$$).

b) Stelle die Gleichungen auf. Einheiten brauchst du nicht mitschreiben.

3. Schritt: Lösen

Löse das Gleichungssystem.

4. Schritt: Prüfen, ob Ergebnis zur Aufgabenstellung passt

a) Ja. Schreibe deinen Antwortsatz mit der Lösung.

b) Nein. Schreibe im Antwortsatz, dass die Aufgabe keine Lösung hat. Du kannst die Fragestellung nicht mit dem Ergebnis der Rechnung beantworten.

Beispiel 1

An der Kinokasse kauft Familie Gülec eine Eintrittskarte für Kinder und $$2$$ für Erwachsene. Familie Gülec bezahlt dafür $$24$$ €. Familie Wolter bezahlt $$36$$ € für $$3$$ Kinderkarten und $$2$$ Erwachsenenkarten.

Wie viel kosten eine Kinderkarte und eine Erwachsenenkarte?

Verwende zum Lösen der Aufgabe die Schrittfolge:

1. Schritt: Aufgabe erfassen

• In der Aufgabe geht es um den Kauf von Kinokarten.

• Skizze:

• Gegeben:
  $$1$$ Kinder- und $$2$$ Erwachsenenkarten kosten $$24$$ €.
  $$3$$ Kinder- und $$2$$ Erwachsenenkarten kosten $$36$$ €.

• Gesucht: Preis für eine Kinder- und eine Erwachsenenkarte.

2. Schritt: Aufgabe in die mathematische Sprache übersetzen

a) Preis für eine Kinderkarte: $$x$$

Preis für eine Erwachsenenkarte: $$y$$

b) Gleichung für Familie Gülec

$$1$$ Kinderkarte $$+$$ $$2$$ Erwachsenenkarten $$= 24$$ €

$$I$$    $$x$$      $$+$$       $$2y$$       $$= 24$$

Gleichung für Familie Wolter

$$3$$ Kinderkarten $$+$$ $$2$$ Erwachsenenkarten $$= 36$$ €

$$II$$   $$3x$$    $$+$$     $$2y$$      $$= 36$$

Bild: fotolia.com (Pavel Losevsky )

Beispiel 1

3. Schritt: Lösen

$$I$$   $$x+2y=24$$ $$|-2y$$
$$II$$  $$3x+2y=36$$

$$I$$  $$x= -2y+24$$
$$II$$  $$3x+2y=36$$

$$I$$ in $$II$$

$$3(-2y+24)+2y=36$$

$$-6y+72+2y=36$$

$$-4y+72=36$$ $$|-72$$

$$-4y = -36$$ $$|:(-4)$$

$$y= 9$$

$$y$$ in $$I$$

$$x= -2*(9)+24$$

$$x=-18+24$$

$$x=6$$

Probe:

$$I$$   $$6+2*9=24$$

$$24 = 24$$

$$II$$   $$3*6+2*9=36$$

$$36 = 36$$

$$L={(6|9)}$$

4. Schritt: Prüfen, ob das Ergebnis zur Aufgabenstellung passt

Passt das Ergebnis inhaltlich?

Ja, der Preis für die Kinokarten scheint realistisch zu sein.

Antwort: Eine Kinderkarte kostet $$6$$ €, eine Karte für Erwachsene $$9$$ €.

Beispiel 2

Ein LKW soll eine Ladung Obst von Amsterdam nach Hamburg bringen. Der Weg von Amsterdam nach Hamburg beträgt $$465$$ km. Der LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von $$80$$ km/h. Familie Thiele kommt aus Hamburg und hat Urlaub in Amsterdam gemacht. Die Thieles fahren eine halbe Stunde später los als der LKW. Die Familie ist mit einer Geschwindigkeit von $$120$$ km/h unterwegs.

Nach wie vielen Kilometern überholt Familie Thiele den LKW?

Verwende zum Lösen der Aufgabe die Schrittfolge:

1. Schritt: Aufgabe erfassen

• In der Aufgabe geht es um einen LKW der Obst transportiert und um Familie Thiele die aus dem Urlaub wieder nach Hause fährt und den LKW überholt.
• Skizze:
• Gegeben:
  Der LKW fährt mit einer Geschwindigkeit von $$80$$ km/h.
  Familie Thiele fährt eine halbe Stunde später los als der LKW.
  Familie Thiele fährt mit einer Geschwindigkeit von $$120$$ km/h.
• Gesucht: Zurückgelegter Weg, nach dem der Überholvorgang stattfindet.

Bild: iStockphoto.com/paulbranding

Beispiel 2

2. Schritt: Aufgabe in die mathematische Sprache übersetzen

a)Variablen festlegen
Zurückgelegter Weg: $$s$$
Zeit, die das Auto unterwegs ist: $$t$$

b)Gleichungen aufstellen

Gleichung für den zurückgelegten Weg des Autos

Zurückgelegter Weg $$=120$$ km/h$$*$$ Zeit, die das Auto unterwegs ist.

$$I$$           $$s = 120t$$

Gleichung für den zurückgelegten Weg des LKWs

Zurückgelegter Weg $$=$$ Weg, den der LKW in einer halben Stunde gefahren ist $$+$$ Weg, den der LKW fährt nachdem Familie Thiele losgefahren ist, bis die Familie ihn eingeholt hat.

Weg $$=$$ $$80$$ km/h$$* 1/2$$

Weg $$=$$ $$80$$ km/h$$ * $$Zeit, die das Auto unterwegs ist

Zurückgelegter Weg $$=$$ $$80$$ km/h$$*$$ Zeit, die das Auto unterwegs ist $$+$$ $$80$$ km/h$$* 1/2$$

$$II$$          $$s = 80t+40$$

Beispiel 2

3. Schritt: Lösen

$$I$$     $$s = 120t$$
$$II$$     $$s = 80t +40$$

$$I=II$$

$$120t=80t+40$$ $$| -80t$$

$$40t = 40$$ $$ | :40$$

$$t = 1$$

$$t$$ in $$I$$

$$s= 120*1 = 120$$

Probe:

$$I$$     $$120 = 120*1$$

$$120 = 120$$

$$II$$   $$120=80*1+40$$

$$120 = 120$$

$$L={(120|1)}$$

4. Schritt: Prüfe, ob das Ergebnis zur Aufgabenstellung passt

Passt das Ergebnis inhaltlich?

Ja, das Ergebnis von $$120$$ km passt zum Inhalt, da der Weg von Amsterdam nach Hamburg $$465$$ km beträgt. Also findet der Überholvorgang noch vor Hamburg statt.

Antwort: Der Überholvorgang findet nach $$120$$ km statt.