Das Additionsverfahren

Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$

Schau dir die beiden Zahlen vor $$x$$ und die beiden Zahlen vor $$y$$ an.

Suche nach einer Zahl, die mit wenig Umformung zur Gegenzahl in der andern Gleichung vor der gleichen Variablen wird.

Dann eignet sich das Additionsverfahren.

Das Additionsverfahren

1. Multipliziere eine der Variablen so, dass sie die Gegenzahl der Variablen in der anderen Gleichung ergibt

Multipliziere hier die zweite Gleichung mit $$2$$.

$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$ $$|$$ $$*2$$

$$6x$$$$+16y=36$$

$$-6x$$ $$-10y=-25,2$$

2. Addiere beide Gleichungen

Addiere die beiden linken und die beiden rechten Seiten miteinander.

linke Seite:   $$($$$$6x$$$$+16y)+($$$$-6x$$$$-10y)=$$ $$6y$$

rechte Seite:   $$36-25,2=$$ $$10,8$$

$$rArr$$ $$6y$$$$=$$ $$10,8$$

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.

$$6y$$ $$=$$ $$10,8$$ $$|:6$$

$$y$$ $$=$$ $$1,8$$

Das Additionsverfahren

4. Berechne die andere Variable

Setze dein Ergebnis in eine der beiden Ausgangsgleichungen ein. Berechne die andere Variable.

z.B.

$$6$$$$x$$ $$ +16$$$$y$$ $$ =36$$    mit   $$y=1,8$$

Du erhältst:    $$6$$$$x$$ $$ +16*$$$$1,8$$ $$ =36$$

$$6$$$$x$$ $$+28,8=36$$ $$|-28,8$$

$$6$$$$x$$ $$=7,2$$ $$|:6$$

$$x$$ $$=1,2$$

5. Führe die Probe durch

Prüfe mit der Probe, ob dein Zahlenpaar $$(x|y)$$ richtig ist.
Setze die Werte von $$x$$ und $$y$$ in beide Ausgangsgleichungen ein.

$$x=1,2$$     $$y=1,8$$

1. Gleichung

$$6x+16y=36$$

$$6*1,2+16*1,8=36$$

$$7,2+28,8=36$$

$$36=36$$
2. Gleichung

$$-3x-5y=-12,6$$

$$-3*1,2-5*1,8=-12,6$$

$$-3,6-9=-12,6$$

$$-12,6=-12,6$$

6. Gib die Lösungsmenge an

Zum Schluss schreibst du die Lösungsmenge auf: erst $$x$$, dann $$y$$.

$$L={(1,2|1,8)}$$

Beispiele zum Finden der Gegenzahl

• Multiplizieren mit einer negativen Zahl:
  

$$6x+16y=36$$

$$2x+3y=20$$ $$|*(-3)$$

$$16x-2y=17$$ $$|*(-2y)$$

$$-13x-4y=21$$

• Beide Gleichungen multiplizieren:
  

$$3x+7y=31$$ $$|*4$$

$$-4x-3y=7$$ $$|*3$$

$$9x+7y=28$$ $$|*3$$

$$7x+3y=-31$$ $$|*(-7)$$

oder

$$9x+7y=28$$ $$|*(-3)$$

$$7x+3y=-31$$ $$|*7$$

Das Additionsverfahren im Überblick

Nach $$x$$ oder $$y$$ auflösen?

Es ist egal, welche der beiden Gleichungen du nach einer Variablen auflöst. Du kannst nach $$x$$ oder nach $$y$$ auflösen. Alle Möglichkeiten führen zu demselben Ergebnis. Aber: Besser du suchst dir eine günstige Variable, sonst ist die Rechnung sehr umständlich.

Schritt 1: Eine der Variablen multiplizieren

$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$ $$|$$ $$*2$$

$$6x+16y=36$$

$$-6x-10y=-25,2$$

Schritt 2: Beide Gleichungen addieren

$$6y=10,8$$ $$|$$ $$:6$$

Schritt 3: Die neue Gleichung nach der Variablen auflösen

$$6x+16y=36$$

$$y=1,8$$

Schritt 4: Die andere Variable berechnen

$$6x+16*(1,8)=36$$

$$6x+28,8=36$$ $$|$$ $$-28,2$$

$$6x=7,2$$

$$x=1,2$$

Schritt 5: Eine Probe durchführen

1.Gleichung

$$6x+16y=36$$

$$6*1,2+16*1,8=36$$

$$7,2+28,8=36$$

$$36=36$$

2.Gleichung

$$−3x−5y=−12,6$$

$$−3⋅1,2−5⋅1,8=−12,6$$

$$−3,6−9=−12,6$$

$$−12,6=−12,6$$

Schritt 6: Die Lösungsmenge angeben

$$L={(1,2|1,8)}$$

$$6x+16y=36$$

$$-3x-5y=-12,6$$ $$|$$ $$*3,2$$

$$6x+16y=36$$

$$-9,6x-16y=-40,32$$

$$-3,6x=-4,32$$ $$|$$ $$:(-3,6)$$

$$6x+16y=36$$

$$x=1,2$$

$$6*1,2+16y=36$$

$$7,2+16y=36$$ $$|$$ $$-7,2$$

$$16y=28,8$$ $$|$$ $$:16$$

$$y=1,8$$

Noch ein schlauer Hinweis

Die Wahl der Variablen ist ebenfalls egal. Ob sie jetzt $$x$$ und $$y$$ oder $$s$$ und $$t$$ oder $$u$$ und $$v$$ heißen.
Wichtig ist: Nach der Umformung muss bei einer der Variablen die Gegenzahl der anderen Gleichung stehen.

$$v=3u-4$$

$$2v=5u+3$$

Das Additionsverfahren mit Brüchen

Bei Aufgaben mit Brüchen funktioniert das Additionsverfahren genauso, du musst nur die Brüche vorher wegbekommen:

Beispiel:

Schritt 1: Eine der Variablen multiplizieren

$$1/3 x+1/2 y=9/6$$ $$|$$ $$*6$$

$$1/3 x-1/5 y=12/15$$ $$|$$ $$*15$$

$$2x+3y=9$$

$$5x-3y=12$$

$$7x=21$$ $$|$$ $$:7$$

Schritt 3: Die neue Gleichung nach der Variablen auflösen

$$2x+3y=9$$

$$x=3$$

Schritt 4: Die andere Variable berechnen

$$2*3+3y=9$$

$$6+3y=9$$ $$|$$ $$-6$$

$$3y=3$$ $$|$$ $$:3$$

$$y=1$$

Schritt 5: Eine Probe durchführen

1.Gleichung

$$1/3x+1/2y=9/6$$

$$1/3*3+1/2*1=9/6$$

$$1+1/2=9/6$$

$$ 3/2 = 3/2$$

2.Gleichung

$$1/3x-1/5y=12/15$$

$$1/3*3-1/5*1=12/15$$

$$1-1/5=12/15$$

$$4/5=4/5$$

$$L={(3|1)}$$

Das Subtraktionsverfahren

Manchmal ist es auch sinnvoller das Additionsverfahren in ein „Subtraktions“-Verfahren umzuwandeln. Es funktioniert genauso, nur subtrahierst du eine der beiden Zeilen von der jeweils anderen.

Beispiel:

Schritt 1: Eine der Variablen multiplizieren

$$4a+3b=11$$ $$|$$ $$*2$$

$$6a+6b=18$$

$$8a+6b=22$$

$$6a+6b=18$$

$$2a=4$$ $$|$$ $$:2$$

Schritt 3: Die neue Gleichung nach der Variablen auflösen

$$8a+6b=22$$

$$a=2$$

Schritt 4: Die andere Variable berechnen

$$8*2+6b=22$$

$$6b=6$$

$$b=1$$

Schritt 5: Eine Probe durchführen

1.Gleichung

$$4a+3b=11$$

$$4*2+3*1=11$$

$$8+3=11$$

$$11=11$$

2.Gleichung

$$6a+6b=18$$

$$6*2+6*1=18$$

$$12+6=18$$

$$18=18$$

Schritt 6: Die Lösungsmenge angeben

$$L={(2|1)}$$