Das Gleichsetzungsverfahren

Beispiel:

Ein Handyanbieter hat zwei Tarife im Angebot.

Ab wann ist welcher Tarif für dich günstiger?

Vorüberlegungen

Schaust du dir die beiden Tarife genau an, kannst du Folgendes feststellen:

1. Tarif 1 ist günstiger, wenn du wenig telefonierst.

Telefonierst du zum Beispiel nur 10 Minuten pro Monat, dann musst du bei Tarif 1 und 2 so viel bezahlen:

Tarif 1: 5,00 € + 10 $$\cdot$$ 0,20 € = 5,00 € + 2,00 € = 7,00 €.

Tarif 2: 10,00 € + 10 $$\cdot$$ 0,10 € = 10,00 € + 1,00 € = 11,00 €.

Telefonierst du nur 10 Minuten im Monat, dann ist Tarif 1 günstiger.

2. Tarif 2 ist günstiger, wenn du sehr viel telefonierst.

Telefonierst du zum Beispiel 100 Minuten pro Monat, dann musst du bei Tarif 1 und 2 so viel bezahlen:

Tarif 1: 5,00 € + 100 $$\cdot$$ 0,20 € = 5,00 € + 20,00 € = 25,00 €.

Tarif 2: 10,00 € + 100 $$\cdot$$ 0,10 € = 10,00 € + 10,00 € = 20,00 €.

Telefonierst du 100 Minuten im Monat, dann ist Tarif 2 günstiger.

Wenn du die beiden Tarife miteinander vergleichen möchtest, musst du dich mit 2 Gleichungen beschäftigen.

Dabei betrachtest du beide Gleichungen gleichzeitig und systematisch.

Das Lösen von Aufgaben mit zwei Gleichungen heißt daher auch : „Lösen von Linearen Gleichungssystemen (LGS)“

Frage:

Wann sind beide Tarife gleich teuer?

Um diese Frage zu lösen, gibt es verschiedenen Lösungsstrategien. Hier wird dir die erste vorgestellt: das Gleichsetzungsverfahren.

Das Gleichsetzungsverfahren

Zuerst stellst du die Gleichungen auf:

Tarif 1: y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

Tarif 2: y = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

So löst du das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren:

1. Stelle beide Gleichungen nach einer Variable um.

Hier sind beide Gleichungen bereits nach der Variablen y umgestellt.

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

y = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

2. Setze die Gleichungen gleich.

Da y = y richtig ist, muss auch 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x richtig sein.

So erhälst du eine neue Gleichung mit nur einer Variablen:

5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf.

5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

5 + 0,20x = 10 + 0,10x     | - 0,10x

5 + 0,20x - 0,10x = 10           | - 5

5 + 0,10x = 10           | - 5

5 - 5 + 0,10x = 10 - 5             

0,10x = 5                 | : 0,10

x = 50

Das Ergebnis bedeutet, dass bei x = 50 beide Gleichungen erfüllt sind. Wenn du also 50 Minuten im Monat telefonierst, sind beide Tarife gleich teuer.

Die Schritte 4-6 findest du auf der nächsten Seite.

Die Schritte 4 - 6

4. Berechne die andere Variable.

Setze x = 50 in eine der beiden Gleichungen ein, um die entsprechende y Variable zu berechnen.

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ 50

y = 5,00 + 10

y = 15,00

5. Führe eine Probe durch.

Setze den x- und y-Wert in die beiden Gleichungen ein.

Tarif 1:

y = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ x

15 = 5,00 + 0,20 $$\cdot$$ 50

15 = 5,00 + 10

15 = 15,00

Tarif 2:

y = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ x

15 = 10,00 + 0,10 $$\cdot$$ 50

15 = 10,00 + 5

15 = 15,00

6. Gib die Lösungsmenge an.

Zuerst gibst du den x-Wert an, dann den y-Wert.

L={(50|15)}

Antwort: Wenn du genau 50 Minuten im Monat telefonierst, musst du 15 € bezahlen und beide Tarife sind gleich teuer. Wenn du weniger telefonierst, ist der 1. Tarif günstiger, wenn du mehr telefonierst, der 2. Tarif.

Das Gleichsetzungsverfahren im Überblick

Tipp:

Natürlich funktioniert das Gleichsetzungsverfahren nicht nur, wenn du beide Gleichungen nach y umstellst. Wichtig ist, dass beide Gleichungen nach einer gemeinsamen Variablen oder nach einem Term umgestellt werden.

Beispiel 1:

2y + 3 = 4x - 3

2y + 3 = 6x + 2

In diesem Fall ist 2y + 3 = 2y + 3, also muss auch 4x - 3 = 6x + 2 sein.

Beispiel 2:

-9y + 2x = 4

5y = -2x - 4

Dieses Gleichungssystem kannst du nach 2x umstellen:

2x = 4 + 9y

2x = -4 - 5y

Hier gilt 2x = 2x, also auch 4 + 9y = -4 - 5y