Bruchterme umformen
Bruchterme
Gewöhnliche Brüche wie 23 kennst du bereits.
Anstatt Zahlen können auch Variablen in dem Bruch stehen. Brüche mit Variablen heißen Bruchterme.
Beispiele:
- 1x
- uv
- 2+xx
- 8a-b
- 3x⋅(2+y)6y.
Häufig gibt es bei Bruchtermen Zusätze wie
- xy, y≠0
- 1a-b, a≠b
Das ist wichtig, weil der Nenner eines Bruches nicht 0 sein darf.
Dieser Strich bedeutet dabei nichts anderes, als dass die obere Zahl, der Zähler, durch die untere Zahl, den Nenner geteilt wird.
23=2:3
Kürzen
Der Bruchterm x⋅(2+y)5x mit x≠0 hat im Zähler und im Nenner die Variable x als Faktor.
Das heißt: x ist ein gemeinsamer Teiler, den du kürzen kannst.
x⋅(2+y)5x=(2+y)5 für x≠0.
Das Kürzen ist die Umkehrung des Erweitern.
Bei gewöhnlichen Brüchen kannst du Kürzen, wenn Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben.
Kürzen von Termen
Der Bruchterm (y-3)⋅17xyz(y-3)⋅7a mit y≠3 und a≠0 hat im Zähler und im Nenner mit (y-3) sogar einen ganzen Term gleich.
Du kannst (y-3) kürzen und erhälst den Term 17xyz7a mit y≠3 und a≠0 .
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Beispiele
Ein paar Beispiele:
3ay3y=a für y≠0
(x+y)⋅52x⋅(x+y)=52x für x≠0 und x≠-y.
a⋅(x2+4x-5)x⋅y⋅a=x2+4x-5x⋅y für x≠0,y≠0 und a≠0.
Umformen und Kürzen
Der Term 2x2+2x4x mit x≠0 lässt sich nicht auf Anhieb kürzen.
Du kannst aber im Zähler 2x ausklammern und anschließend kürzen.
2x2+2x4x=2x⋅(x+1)2x⋅2=x+12 mit x≠0.
Dies kann auch im Nenner der Fall sein, oder in Zähler und Nenner:
4ab-a+3a2a-ab=a⋅(4b-1+3a)a⋅(1-b)=4b-1+3a1-b mit a≠0 und b≠1.
Bruchterme „auf den gleichen Nenner bringen“
Bruchterme lassen sich (wie normale Brüche auch) nicht immer einfach so addieren. Bei normalen Brüchen benutzt du dafür einen Trick: Du bringst die Brüche auf den gleichen Nenner.
Auf dem selben Wege kannst du auch Bruchterme addieren.
Addiere die Bruchterme x2 und y3. Die beiden haben nicht denselben Nenner. Wenn du aber die beiden Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen erweiterst, kannst du sie addieren:
x2+y3=3⋅x3⋅2+2⋅y2⋅3=3x+2y6
Erinnerung:
47+35=5⋅45⋅7+3⋅75⋅7
=5⋅4+3⋅75⋅7=4135
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Bruchterme „auf den gleichen Nenner bringen“
Leider stehen nicht immer nur Zahlen im Nenner, sondern oft auch Variablen oder ganze Terme.
Addiere die beiden Bruchterme yy und yy+1.
Erweitere beide Brüche mit dem Nenner des jeweils anderen.
y⋅(y+1)y⋅(y+1)+y⋅yy⋅(y+1)=y⋅(y+1)+y⋅yy⋅(y+1)
Prüfe, ob du kürzen kannst.
y⋅(y+1)+y⋅yy⋅(y+1)=y⋅(2y+1)y⋅(y+1)=2y+1y+1
Achtung:
Hier kannst du nicht weiter kürzen!
2y+1y+1 ist nicht gleich
2yy oder 2+11+1
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