Produkte von Summen ausmultiplizieren

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Produkte von Summen ausmultiplizieren

Terme mit mehreren Klammerpaaren

Jetzt kommt’s noch dicker: In Termen können auch mehrere Klammerpaare vorkommen. Meistens willst du die Klammern auflösen.

Schau dir an, wie’s geht:

Zum Nachlesen

Und noch ein paar Beispiele zum Nachlesen:

Beispiel: $(x+2)*(y+3)$

$($ $x$ $+2$ $)*(y+3)=$ $x$ $*y$ $+x$ $*3$ $+2$ $*y$ $+2$ $*3$

$=xy+3x+2y+6$

Beim Auflösen der Klammern multiplizierst du jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer.
Allgemein: $($ $a$ $+b$ $)*(c+d)=$ $a$ $*c$ $+a$ $*d$ $+b$ $*c$ $+b$ $*d$

Diese Regel gilt wegen des Distributivgesetzes. Ein Zahlenbeispiel: $(3+2)*(4+7)$ ist das Gleiche wie $3*4+3*7+2*4+2*7$ , nämlich $55$ .

Klammern auflösen = ausmultiplizieren

Mathematiker nennen diese Struktur Produkt von 2 Summen.
Produkt: Ergebnis von $*$
Summe: Ergebnis von $+$

Beispiele mit Minuszeichen

Beispiel 1: $(x-2)*(y+1)$

Die Vorzeichen gehören immer mit zur Zahl! Rechne mit $-2$ und nicht nur mit $2$ .

$($ $x$ $-2$ $)*(y+1)=$ $x$ $*y$ $+x$ $*1$ $-2$ $*y$ $-2$ $*1$

$=xy+x-2y-2$

Beispiel 2: $(r+s)*(t-u)$

$($ $r$ $+s$ $)*(t-u)=$ $r$ $t$ $-r$ $u$ $+s$ $t$ $-s$ $u$

$+*+$ ist $+$ und $- *-$ ist $+$ .
$- cdot +$ ist $-$ und $+cdot -$ ist $-$ .

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Schwieriges Beispiel

Beispiel: $(2a-b)*(3c-5d)$

$($ $2a$ $-b$ $)*(3c-5d)=$ $2a$ $*3c$ $-2a$ $*5d$ $-b$ $*3c$ $+b$ $*5d$

$=6ac-10ad-3bc+5bd$

Noch mehr Vorzeichen

Egal, wie viele fiese Vorzeichen in dem Term stecken: Nimm Vorzeichen und Zahl immer zusammen und rechne wie gewohnt.

Beispiel: $(y-3)*(-2-x)$

$($ $y$ $-3$ $)*(-2-x)=$ $y$ $*(-2)$ $-y$ $*x$ $+3$ $*2$ $+3$ $x$

$=-2y-xy+6+3x$

Ein Beispiel mit $x^2$

Beispiel: $(x+4)*(2+x)$

Beim Rechnen wirst du merken, dass ein $x^2$ auftaucht.

$($ $x$ $+4$ $)*(2+x)=$ $x$ $*2$ $+x$ $*x$ $+4$ $*2$ $+4$ $*x$

$=2x+x^2+8+4x$

$=x^2+6x+8$

Wenn in beiden Summen die gleiche Variable $(x)$ steht, kommt beim Ausmultiplizieren ein quadratischer Term raus $(x^2)$ .

Mathematiker schreiben erst quadratische Glieder, dann die einfach vorkommenden Glieder und zum Schluss die Zahlen.

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3 Glieder in der Klammer

Beispiel: $(x-2y)*(3x+y-5)$

$($ $x$ $-2y$ $)*(3x+y-5)=$ $x$ $*3x$ $+x$ $*y$ $-x$ $*5$ $-2y$ $*3x$ $-2y$ $*y$ $+2y$ $*5$

$=3x^2$ $+xy$ $-5x$ $-6xy$ $-2y^2+10y$

$=3x^2$ $-5xy$ $-5x+10y-2y^2$

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