Produkte von Summen ausmultiplizieren
Terme mit mehreren Klammerpaaren
Jetzt kommt’s noch dicker: In Termen können auch mehrere Klammerpaare vorkommen. Meistens willst du die Klammern auflösen.
Schau dir an, wie’s geht:
Zum Nachlesen
Und noch ein paar Beispiele zum Nachlesen:
Beispiel: $$(x+2)*(y+3)$$
$$($$$$x$$$$+2$$$$)*(y+3)=$$ $$x$$$$*y$$ $$+x$$$$*3$$ $$+2$$$$*y$$ $$+2$$$$*3$$
$$=xy+3x+2y+6$$
Beim Auflösen der Klammern multiplizierst du jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer.
Allgemein: $$($$$$a$$$$+b$$ $$)*(c+d)=$$$$a$$$$*c$$$$+a$$$$*d$$$$+b$$$$*c$$$$+b$$$$*d$$
Diese Regel gilt wegen des Distributivgesetzes. Ein Zahlenbeispiel: $$(3+2)*(4+7)$$ ist das Gleiche wie $$3*4+3*7+2*4+2*7$$, nämlich $$55$$.
Klammern auflösen = ausmultiplizieren
Mathematiker nennen diese Struktur Produkt von 2 Summen.
Produkt: Ergebnis von $$*$$
Summe: Ergebnis von $$+$$
Beispiele mit Minuszeichen
Beispiel 1: $$(x-2)*(y+1)$$
Die Vorzeichen gehören immer mit zur Zahl! Rechne mit $$-2$$ und nicht nur mit $$2$$.
$$($$$$x$$$$-2$$$$)*(y+1)=$$ $$x$$$$*y$$$$+x$$$$*1$$$$-2$$$$*y$$$$-2$$$$*1$$
$$=xy+x-2y-2$$
Beispiel 2: $$(r+s)*(t-u)$$
$$($$$$r$$$$+s$$$$)*(t-u)=$$ $$r$$$$t$$$$-r$$$$u$$$$+s$$$$t$$$$-s$$$$u$$
$$+*+$$ ist $$+$$ und $$- *-$$ ist $$+$$.
$$- cdot +$$ ist $$-$$ und $$+cdot -$$ ist $$-$$.
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Schwieriges Beispiel
Beispiel: $$(2a-b)*(3c-5d)$$
$$($$$$2a$$$$-b$$$$)*(3c-5d)=$$ $$2a$$$$*3c$$$$-2a$$$$*5d$$$$-b$$$$*3c$$$$+b$$$$*5d$$
$$=6ac-10ad-3bc+5bd$$
Noch mehr Vorzeichen
Egal, wie viele fiese Vorzeichen in dem Term stecken: Nimm Vorzeichen und Zahl immer zusammen und rechne wie gewohnt.
Beispiel: $$(y-3)*(-2-x)$$
$$($$$$y$$$$-3$$$$)*(-2-x)=$$ $$y$$$$*(-2)$$$$-y$$$$*x$$$$+3$$$$*2$$$$+3$$$$x$$
$$=-2y-xy+6+3x$$
Ein Beispiel mit $$x^2$$
Beispiel: $$(x+4)*(2+x)$$
Beim Rechnen wirst du merken, dass ein $$x^2$$ auftaucht.
$$($$$$x$$$$+4$$$$ )*(2+x)=$$ $$x$$$$ *2$$$$+x$$$$ *x$$$$+4$$$$ *2$$$$+4$$$$ *x$$
$$=2x+x^2+8+4x$$
$$=x^2+6x+8$$
Wenn in beiden Summen die gleiche Variable $$(x)$$ steht, kommt beim Ausmultiplizieren ein quadratischer Term raus $$(x^2)$$.
Mathematiker schreiben erst quadratische Glieder, dann die einfach vorkommenden Glieder und zum Schluss die Zahlen.
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3 Glieder in der Klammer
Beispiel: $$(x-2y)*(3x+y-5)$$
$$($$$$x$$$$-2y$$$$)*(3x+y-5)=$$ $$x$$$$*3x$$$$+x$$$$*y$$$$-x$$$$*5$$$$-2y$$$$*3x$$$$-2y$$$$*y$$$$+2y$$$$*5$$
$$=3x^2$$$$+xy$$$$-5x$$$$-6xy$$$$-2y^2+10y$$
$$=3x^2$$$$-5xy$$$$-5x+10y-2y^2$$
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