Faktorisieren von Termen

Was sich hinter „Faktorisieren“ verbirgt:

Etwas schwierigere Beispiele

Jetzt wird es etwas schwieriger.
Der Term `9xy-6x` hat in jedem Summanden den Faktor `x`. Allerdings lassen sich gleichzeitig `9` und `6` beide durch `3` teilen. Der Faktor, den du ausklammerst lautet dann `3x`.

`9xy-6x=3x*3y-3x*2=3x*(3y-2)`

Manchmal macht es auch Sinn eine negative Zahl auszuklammern. Zum Beispiel, wenn der Term überwiegend negative Summanden hat.
Der Term `-4t-8tx-16` hat nur negative Summanden und in jedem Summanden kommt der Faktor `-4` vor.

`-4t-8tx-16=-4*(t+2x+4)`

Du kannst auch Terme, die mehr als zwei Summanden haben faktorisieren. Dabei gehst du genauso vor.
Der Term `-2t-8tx-4t+4tu` enthält in jedem Termglied die Variable `t`. Zusätzlich lassen sich die Zahlen durch `-2` teilen. Klammere also `-2t` aus.

`-2t-8tx-4t+4tu`

`=(-2t)+(-2t)*4x+(-2t)*2-(-2t)*2u`

`=-2t*(1+4x+2-2u)`

Probe:
`3x*(3y-2)=9xy-6x`

Probe: `-4*(t+2x+4)=−4t−8tx−16`

Probe:
`-2t*(1+4x+2-2u)`

`=-2t-8tx-4t+4tu`

Wenn nicht jeder Summand den gleichen Faktor hat…

…ist es manchmal trotzdem hilfreich auszuklammern.
Im Term `4x+4y+3` haben sowohl `x`, als auch `y` die `4` als Vorfaktor. Leider lässt sich `3` nicht so gut durch `4` teilen. Trotzdem ist das Ausklammern der `4` möglich und kann den Term vereinfachen.
`4x+4y+3=4*(x+y+3/4)`

`5x^2+3x-c` ist irgendwie besser als `x*(5x+3-c/x)`, oder?

Potenzen

Im Term `x^3+4x^2-x` kommt die Variable `x` in jedem Summanden vor. Klammere `x` aus.

Erinnerst du dich, wie du Potenzen, wie `x^3` durch `x` teilst?

`x^3+4x^2-x=x*x^2+x*4x-x*1`

`=x*(x^2+4x-1)`

Überprüfe:
`x*x^2` ergibt `x^3`
und
`x*4x` ergibt `4x^2`.

Ausklammern von Summen

Auch der Term `2y*(x+3)-c*(x+3)` hat einen gemeinsamen Faktor in jedem Summanden. Der Ausdruck `(x+3)` wird jeweils mit verschiedenen Variablen und Zahlen multipliziert. Du kannst diesen Faktor also auch ausklammern! `2y*(x+3)-c*(x+3)=(x+3)*2y-(x+3)*c`

`=(x+3)*(2y-c)`