Terme durch Faktorisieren umformen
Faktorisieren von Termen
Was sich hinter „Faktorisieren“ verbirgt:
Etwas schwierigere Beispiele
Jetzt wird es etwas schwieriger.
Der Term $$9xy-6x$$ hat in jedem Summanden den Faktor $$x$$. Allerdings lassen sich gleichzeitig $$9$$ und $$6$$ beide durch $$3$$ teilen. Der Faktor, den du ausklammerst lautet dann $$3x$$.
$$9xy-6x=3x*3y-3x*2=3x*(3y-2)$$
Manchmal macht es auch Sinn eine negative Zahl auszuklammern. Zum Beispiel, wenn der Term überwiegend negative Summanden hat.
Der Term $$-4t-8tx-16$$ hat nur negative Summanden und in jedem Summanden kommt der Faktor $$-4$$ vor.
$$-4t-8tx-16=-4*(t+2x+4)$$
Du kannst auch Terme, die mehr als zwei Summanden haben faktorisieren. Dabei gehst du genauso vor.
Der Term $$-2t-8tx-4t+4tu$$ enthält in jedem Termglied die Variable $$t$$. Zusätzlich lassen sich die Zahlen durch $$-2$$ teilen. Klammere also $$-2t$$ aus.
$$-2t-8tx-4t+4tu$$
$$=(-2t)+(-2t)*4x+(-2t)*2-(-2t)*2u$$
$$=-2t*(1+4x+2-2u)$$
Probe:
$$3x*(3y-2)=9xy-6x$$
Probe: $$-4*(t+2x+4)=−4t−8tx−16$$
Probe:
$$-2t*(1+4x+2-2u)$$
$$=-2t-8tx-4t+4tu$$
Wenn nicht jeder Summand den gleichen Faktor hat…
…ist es manchmal trotzdem hilfreich auszuklammern.
Im Term $$4x+4y+3$$ haben sowohl $$x$$, als auch $$y$$ die $$4$$ als Vorfaktor. Leider lässt sich $$3$$ nicht so gut durch $$4$$ teilen. Trotzdem ist das Ausklammern der $$4$$ möglich und kann den Term vereinfachen.
$$4x+4y+3=4*(x+y+3/4)$$
Das Ausklammern ist in solchen Fällen nicht immer unbedingt hilfreich.
$$5x^2+3x-c$$ ist irgendwie besser als $$x*(5x+3-c/x)$$, oder?
Potenzen
Im Term $$x^3+4x^2-x$$ kommt die Variable $$x$$ in jedem Summanden vor. Klammere $$x$$ aus.
Erinnerst du dich, wie du Potenzen, wie $$x^3$$ durch $$x$$ teilst?
$$x^3+4x^2-x=x*x^2+x*4x-x*1$$
$$=x*(x^2+4x-1)$$
Überprüfe:
$$x*x^2$$ ergibt $$x^3$$
und
$$x*4x$$ ergibt $$4x^2$$.
Ausklammern von Summen
Auch der Term $$2y*(x+3)-c*(x+3)$$ hat einen gemeinsamen Faktor in jedem Summanden. Der Ausdruck $$(x+3)$$ wird jeweils mit verschiedenen Variablen und Zahlen multipliziert. Du kannst diesen Faktor also auch ausklammern! $$2y*(x+3)-c*(x+3)=(x+3)*2y-(x+3)*c$$
$$=(x+3)*(2y-c)$$
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