Vom quadratischen Term zur binomischen Formel

Quadratische Terme

Ein Term wird dann quadratisch genannt, wenn bei einer Variablen als höchste Potenz die 2 auftritt.

Beispiele:

$$T(x)=x^2+2x;  T(x)=-2x^2-9;$$
$$T(y)=y*(13-y); T(u)=u^2-10u+111.$$

Binomische Formeln

Um diese Terme zu vereinfachen, können Dir die ersten beiden binomischen Formeln helfen:

Machen wir uns auf den Weg …

Gegeben sei der Term

$$T(y)=y^2 + 2y+1.$$

Dieser Term lässt sich leicht in eine binomische Formel umwandeln.

Vergleiche mit der 1. binomischen Formel:
$$T(y)=y^2 + 2y+1$$   $$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$$

$$y$$^$$2$$     $$stackrel(^)=$$ $$a$$^$$2$$

$$2*$$$$y$$$$*$$$$1$$  $$stackrel(^)=$$ $$2*$$$$a$$ $$*$$$$b$$

$$1$$$$=$$$$1$$^$$2$$   $$stackrel(^)=$$ $$b$$^$$2$$

Damit folgt

$$T(y)=y^2 + 2y+1=(y+1)^2.$$

Das ist eine erste Schrittfolge, wie Du einen quadratischen Term in eine binomische Formel umwandeln kannst.

1. Schritt:
   Bestimme die Basis der quadratischen Variable. Daraus erhältst Du den
   ersten Term des Binoms - im Beispiel $$y$$.
   
2. Schritt:
   Dividiere den gemischten Term durch $$2$$ und durch die Basis aus dem ersten Schritt. Das ergibt den zweiten Term des Binoms -
   im Beispiel  $$2y:(2y) = 1$$.
   
3. Schritt:
   Schreibe den quadratischen Term als binomische Formel und kontrolliere -
   im Beispiel $$T(y)=y^2 + 2y+1=(y+1)^2$$.

Wiederholung der Schrittfolge

1. Schritt:
   Bestimme die Basis der quadratischen Variable. Daraus erhältst Du den
   ersten Term des Binoms.
2. Schritt:
   Dividiere den gemischten Term durch das doppelte der Basis aus dem ersten Schritt. Das ergibt den zweiten Term des Binoms.
3. Schritt:
   Schreibe den quadratischen Term als binomische Formel und kontrolliere.

1. Beispiel

Gegeben sei der quadratische Term $$T(u)=u^2+16u+64$$.
1. Schritt: $$u$$
2. Schritt: $$16u:(2*u)=8$$
3. Schritt: $$T(u)=u^2+16u+64=(u+8)^2$$; Kontrolle: $$8^2=64$$.

2. Beispiel

Gegeben sei der quadratische Term $$T(c)=c^2-18c+81$$.
1. Schritt: $$c$$
2. Schritt: $$-18c:(2*c)=-9$$
3. Schritt: $$T(c)=c^2-18c+81=(c-9)^2$$; Kontrolle: $$(-9)^2=81$$.

Aber was, wenn der Term ganz anders aussieht…?

Beispiel:
$$T(x)= x^2+10x$$.

Diesen Term in ein quadratisches Binom umzuwandeln - wie soll denn das funktionieren?
Ganz einfach, indem Du etwas Passendes ergänzen kannst!

Wende zunächst die Schrittfolge an:
1. Schritt: $$x$$
2. Schritt: $$10x:(2*x)=5$$
Stop!
Ja, wenn im Term $$5^2=25$$ stehen würde, dann könntest Du umformen.
Diesen Wert ergänzt Du jetzt einfach, und subtrahierst ihn sofort wieder, damit sich der Wert des Terms nicht ändert:
$$T(x)= x^2+10x$$ $$+25$$  $$-25$$.
Jetzt kannst Du die Umformung wie gewohnt durchführen und erhältst im
3. Schritt:
$$T(x)=(x^2+10x+25)-25=(x+5)^2-25$$
Dieses Vorgehen heißt quadratische Ergänzung und wird Dir auch später noch als hilfreich sein.

Weiteres Beispiel zur quadratischen Ergänzung

Gegeben sei diesmal der Term
$$T(y) = y^2-8y+10.$$

Nutze wieder die Schrittfolge:

1. Schritt: $$y$$
2. Schritt: $$-8y:(2⋅y)=-4$$
   Oje, $$(-4)^2=16$$ entspricht leider nicht dem Wert $$10$$ im Term!
   Zum Glück kann auch hier die quadratische Ergänzung helfen:
   addiere $$(-4)^2=16$$, und ziehe sie gleich wieder ab:
   $$T(y) = y^2-8y+16 - 16+10.$$
   
3. Schritt: Jetzt kannst Du wieder wie gewohnt umformen und verrechnen: $$T(y)=(y^2-8y+16)-16+10=(y-4)^2-6.$$

Ein letztes Beispiel

Gegeben sei $$T(x)= 3x^2+30x-14$$.
In diesem Fall steht vor dem quadratischen Term keine $$1$$. Du kannst aber einfach den Faktor vor $$x^2$$ ausgeklammert und erhältst
$$T(x)= 3x^2+30x-14=3[x^2+10x]-14$$.
In der eckigen Klammer kannst Du wieder Deine Schrittfolge anwenden:
1. Schritt: $$x$$
2. Schritt: $$10x:(2x)=5$$
Quadratische Ergänzung: $$5^2=25$$
Damit folgt:
$$T(x)= 3[x^2+10x+25-25]-14$$
3. Schritt: Nun wendest Du die binomische Formal an:
$$T(x)=3[(x^2+10x+25)-25]-14$$
$$T(x)= 3[(x+5)^2-25]-14$$
Zum Schluss löst Du die eckige Klammer auf und rechnest zusammen: $$T(x)=3(x+5)^2-75-14$$
$$T(x)=3(x+5)^2-89$$
Jetzt hast Du auch diesen Term umgewandelt!

Zusammenfassung

Diese Beispiele zeigen, dass Du durch eine etwas verallgemeinerte Schrittfolge jeden quadratischen Term zu einem quadrierten Binom umwandeln kannst.

Schrittfolge zur „Quadratischen Ergänzung“

1. Schritt: Steht vor der quadratischen Variablen keine $$1$$, so klammere den Vorfaktor dort und aus dem gemischten Term aus.
2. Schritt: Bestimme die Basis der quadratischen Variablen. Du erhältst den ersten Term des Binoms.
   
3. Schritt: Dividiere den gemischten Term durch das Doppelte des ersten Terms. Das ergibt den zweiten Term des Binoms.
   
4. Schritt: Bilde die quadratische Ergänzung, addiere sie und subtrahiere sie.
5. Schritt: Bilde die binomische Formel, und vereinfache den Restterm.

Beispiel: $$T(x)=3x^2+18x+32$$

1. Schritt: $$T(x)=3[x^2+6x]+32$$
   
2. Schritt: $$x$$
   
3. Schritt: $$6x:(2*x)=3$$
   
4. Schritt: $$3^2=9$$, also
   $$T(x)=3[x^2+6x+9-9]+32$$
   
5. Schritt: $$T(x)=3[(x^2+6x+9)-9]+32=3[(x+3)^2-9]+32$$
   Durch Auflösen der eckigen Klammern erhältst Du
   $$T(x)=3(x+3)^2-27+32=3(x+3)^2+5$$.