Wurzelterme umformen
Wurzelterme mit Klammern umformen
Du hast schon gelernt, Klammerterme durch Ausmultiplizieren umzuformen.
Das funktioniert auch mit Termen, die Wurzeln enthalten.
Beispiele:
(4+√3)⋅ √3 =4⋅ √3 +√3⋅ √3 =4⋅ √3 +3
Das geht auch mit Variablen:
(5+√x)⋅ √x =5⋅ √x +√x⋅ √x =5⋅ √x +x
Für alle x∈ℝ:x≥0
Ausmultiplizieren darfst du wegen des Distributivgesetzes: a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c
Beispiel: 2⋅(x+3)=2⋅x+6
√3⋅√3=√32=3
√x⋅√x=√x2=x
Die binomischen Formeln bei Wurzeltermen anwenden
Auch bei Wurzeltermen kannst du die binomischen Formeln nutzen.
Beispiele:
I. Binomische Formel (√2+√8)2=√22+2⋅√2⋅√8+√82
=2+2⋅√2⋅8+8
=2+2⋅√16+8
Das geht auch mit Variablen:
II. Binomische Formel
(√x-√y)2=√x2-2⋅√x⋅√y+√y2
=x-2⋅√x⋅y+y
Für alle x∈ℝ:x≥0
III. Binomische Formel
(√a+√b)⋅(√a-√b)=√a2-√b2
=a-b
Für alle a,b∈ℝ:a,b≥0
Binomische Formeln:
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)⋅(a-b)=a2-b2
√a⋅√b=√a⋅b
Wurzelterme ausklammern
Manchmal kannst du durch Ausklammern einer Wurzel einen Term vereinfachen.
Beispiel:
a2 √b - √b
=a2⋅ √b -1⋅ √b
= √b ⋅(a2-1)
√b kommt bei beiden Summanden vor.
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Die binomischen Formeln rückwärts nutzen
Du kannst die binomischen Formeln auch rückwärts anwenden.
Beispiele:
I. Binomische Formel
√1+2x+x2=√(1+x)2=1+x
III. Binomische Formel
2-a2=√22-√a22=(√2-a)⋅(√2+a)
Binomische Formeln:
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 a2-b2=(a+b)⋅(a-b)
√x⋅√x=√x2=x
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