Antiproportionale Zuordnungen im Koordinatensystem darstellen
Das Koordinatensystem
Bei Zuordnungen stehen immer 2 Zahlen oder Größen aus verschiedensten Bereichen miteinander in Verbindung.
Beispiel: Eine Futtertüte reicht für 4 Wellensittiche 12 Tage lang. In der Tabelle siehst du, wie lange das Futter bei unterschiedlicher Anzahl von Wellensittichen ausreicht.
| Vögel | $$4$$ | $$2$$ | $$6$$ | $$8$$ | $$3$$ | $$12$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tage | $$12$$ | $$24$$ | $$8$$ | $$6$$ | $$16$$ | $$4$$ |
So stellst du die Zuordnung Anzahl der Vögel $$->$$ Anzahl der Tage in einem Koordinatensystem dar:
Schritt 1: Beschrifte die Achsen
- Ausgangsgröße - Anzahl der Vögel: $$x$$-Achse
- die zugeordnete Größe - Anzahl der Tage: $$y$$-Achse
Schritt 2: Teile die Achsen ein
Wähle hier ein Kästchen für einen Vogel und ein Kästchen für einen Tag.
Jeder Punkt im Koordinatensystem entspricht dabei einem Zahlenpaar aus der Zuordnungstabelle.
Die Punkte eintragen
| Vögel | $$4$$ | $$2$$ | $$6$$ | $$8$$ | $$3$$ | $$12$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tage | $$12$$ | $$24$$ | $$8$$ | $$6$$ | $$16$$ | $$4$$ |
Das erste Zahlenpaar aus deiner Tabelle ist $$4$$ Vögel $$rarr 12$$ Tage.
Schritt 1 :
Du „wanderst“ mit dem Finger auf der $$x$$-Achse bis zur Vier.
Schritt 2:
Von dort wanderst du mit dem Finger 12 Kästchen nach oben.
Schritt 3:
Du machst ein Kreuz für den ersten Punkt.
So trägst du nun alle Punkte in dein Koordinatensystem ein.
Die Punkte verbinden?
Dieser Schritt ist nicht immer sinnvoll.
In unserem Beispiel kannst du die Punkte nicht verbinden, da es 1,5 Vögel nicht gibt!
Also sieht dein Koordinatensystem mit allen Zahlenpaaren jetzt so aus:
Bei antiproportionalen Zuordnungen liegen die Zahlenpaare auf Kurven, die von links oben nach rechts unten fallen. Der Mathematiker nennt diese Form Hyperbel.
Zahlenpaare ablesen
Bei anderen Aufgaben musst du Zahlenpaare aus dem Koordinatensystem ablesen und sie dann in der Tabelle notieren.
Beispiel: Lies die Werte bei $$x = 4$$ und $$x = 6$$ ab und vervollständige die Tabelle.
So geht’s:
Gehe bei $$x = 4$$ zum zugehörigen Punkt und dann nach links zur $$y$$-Achse. Lies den $$y$$-Wert ab (hier „$$90$$“).
Bei $$x = 6$$ beträgt der $$y$$-Wert $$60$$.
Das Koordinatensystem selbst anlegen
Bevor du mit dem Zeichnen anfängst:
- Berechne die fehlenden Werte
- Wähle die Einteilung (den Maßstab)
- Wähle die passende Länge der Achsen
Beispiel: Das Trinkwasser auf einem Schiff ist begrenzt. Es reicht eine gewisse Anzahl von Tagen, die vom Verbrauch pro Tag abhängt.
| Tage | 12 | 16 | 32 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Verbrauch in $$l$$ | 200 | 100 | 50 |
Die fehlenden Werte sind:
| Tage | 12 | 24 | 48 | 16 | 32 |
|---|---|---|---|---|---|
| Verbrauch in $$l$$ | 200 | 100 | 50 | 150 | 75 |
Welche $$x$$- und $$y$$-Werte sind am größten?
- $$x$$-Achse - Ausgangsgröße: 48 Tage, gerundet 50 Tage
- $$y$$-Achse - die zugeordnete Größe: 200 Liter
Wie unterteilst du die Achsen?
- 1 Kästchen = 2 Tage, da die $$x$$-Achse sonst zu lang ist
- 1 Kästchen = 10 Liter, da die $$y$$-Achse sonst zu lang ist
Die Achsen zeichnen
| Tage | 12 | 24 | 48 | 16 | 32 |
|---|---|---|---|---|---|
| Verbrauch in $$l$$ | 200 | 100 | 50 | 150 | 75 |
Zeichne die $$x$$-Achse etwas länger als 50 Tage (1 Kästchen = 2 Tage) und die $$y$$-Achse etwas länger als 200 Liter (1 Kästchen = 10 Liter).
Dann trägst du alle Zahlenpaare aus der Tabelle ein.
Die Punkte verbinden?
Das Verbinden der Punkte ist sinnvoll, da am Tag auch 1,5 Liter Wasser getrunken werden könnten.
Die Punkte des Graphen einer antiproportionalen Zuordnung verbindest du nicht durch Strecken, sondern durch eine Kurve.
Die Zahlenpaare einer antiproportionalen Zuordnung liegen auf einer Hyperbel. Das ist eine Kurve, die von links oben nach rechts unten fällt.
Du verbindest die Punkte nur, wenn du sinnvolle Kommazahlen der Größen bilden kannst. Sonst lässt du einfach die Kreuze stehen.
Du verbindest die Punkte nicht durch gerade Strecken, sondern mit freier Hand durch eine Kurve.
Hyperbel verändern
Du möchtest wissen, wie sich die Hyperbelgleichung abhängig von einem Punkt verändert?
Probier einmal selbst aus was passiert, wenn du einen Punkt der Hyperbel verschiebst. Beachte, wie sich der Zähler aus den beiden Koordinaten des Punktes ergibt.
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